Różnica między macierzą transpozycji a macierzą odwrotną

Transpozycja vs macierz odwrotna
 

Transpozycja i odwrotność to dwa typy macierzy o specjalnych właściwościach, które spotykamy w algebrze macierzy. Różnią się od siebie i nie mają bliskiej relacji, ponieważ operacje wykonywane w celu ich uzyskania są różne.

Mają szerokie zastosowanie w dziedzinie algebry liniowej i pochodnych implementacji, takich jak informatyka.

Więcej informacji o transpozycji macierzy

Transpozycja macierzy ZA można zidentyfikować jako macierz uzyskaną przez zmianę kolejności kolumn jako wierszy lub wierszy jako kolumn. W rezultacie wskaźniki każdego elementu są zamieniane. Bardziej formalnie, transpozycja macierzy ZA, jest zdefiniowany jako

gdzie

W macierzy transponowanej przekątna pozostaje niezmieniona, ale wszystkie pozostałe elementy są obracane wokół przekątnej. Również rozmiar macierzy również zmienia się z m × n na n × m.

Transpozycja ma pewne ważne właściwości i pozwalają na łatwiejsze manipulowanie macierzami. Ponadto niektóre ważne macierze transpozycji są definiowane na podstawie ich cech. Jeśli macierz jest równa transpozycji, to macierz jest symetryczna. Jeśli macierz jest równa jej ujemnej wartości transpozycji, macierz jest symetryczną ukośną. Sprzężona transpozycja macierzy jest transpozycją macierzy z elementami zastąpionymi jej złożonym sprzężeniem.

Więcej informacji o macierzy odwrotnej

Odwrotność macierzy jest definiowana jako macierz, która daje macierz tożsamości po pomnożeniu razem. Dlatego z definicji, jeśli AB = BA = I następnie b jest macierzą odwrotną do ZA i ZA jest macierzą odwrotną do b. Więc jeśli weźmiemy pod uwagę b = ZA^-1 , następnie AA^-1 = ZA^-1A = ja

Aby matryca była odwracalna, warunkiem koniecznym i wystarczającym jest wyznacznik ZA nie jest równe zero; tj. |ZA| = det (ZA) ≠ 0. O macierzy mówi się, że jest odwracalna, niepodzielna lub nie-zwyrodnieniowa, jeżeli spełnia ten warunek. Wynika, że ZA to macierz kwadratowa i obie te wartości ZA^-1 i ZA ma ten sam rozmiar.

Odwrotność macierzy ZA można obliczyć wieloma metodami w algebrze liniowej, takimi jak eliminacja Gaussa, skład Eigend, rozkład Choleskiego i reguła Carmera. Macierz można również odwrócić metodą inwersji bloków i szeregów Neumana.

Jaka jest różnica między transpozycją a macierzą odwrotną?

• Transpozycję uzyskuje się przez przestawienie kolumn i rzędów w macierzy, a odwrotność uzyskuje się przez stosunkowo trudne obliczenia numeryczne. (Ale w rzeczywistości oba są transformacjami liniowymi)

• W wyniku bezpośredniego elementy transponowane zmieniają tylko swoje położenie, ale wartości są takie same. Ale odwrotnie, liczby mogą być całkowicie różne od oryginalnej macierzy.

• Każda macierz może mieć transpozycję, ale odwrotność jest zdefiniowana tylko dla macierzy kwadratowych, a wyznacznik musi być wyznacznikiem niezerowym.