Różnica między pochodną a całką

Pochodna a całka

Różnicowanie i integracja to dwie podstawowe operacje w rachunku różniczkowym. Mają liczne zastosowania w kilku dziedzinach, takich jak matematyka, inżynieria i fizyka. Zarówno pochodna, jak i całka omawiają zachowanie funkcji lub zachowanie bytu fizycznego, którymi jesteśmy zainteresowani.

Co to jest pochodna?

Załóżmy, że y = ƒ (x) i x₀ należy do domeny ƒ. Więc lim_{Δx → ∞}Δy / Δx = lim_{Δx → ∞}[ƒ (x₀+Δx) - ƒ (x₀)] / Δx nazywa się chwilową szybkością zmiany ƒ przy x₀, pod warunkiem, że ten limit istnieje. Limit ten jest również nazywany pochodną at i jest oznaczony przez ƒ (x).

Wartość pochodnej funkcji fa w dowolnym momencie x w dziedzinie tej funkcji podano przez lim_{Δx → ∞}[ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / Δx. Jest to oznaczone jednym z następujących wyrażeń: y, ƒ (x), ƒ, dƒ (x) / dx, dƒ / dx, D_xy.

Dla funkcji z kilkoma zmiennymi definiujemy pochodną cząstkową. Częściowa pochodna funkcji z kilkoma zmiennymi jest pochodną względem jednej z tych zmiennych, przy założeniu, że pozostałe zmienne są stałymi. Symbolem pochodnej cząstkowej jest ∂.

Geometrycznie pochodną funkcji można interpretować jako nachylenie krzywej funkcji ƒ (x).

Co to jest Integral?

Integracja lub przeciwróżnicowanie to odwrotny proces różnicowania. Innymi słowy, jest to proces znajdowania oryginalnej funkcji, gdy podana jest pochodna funkcji. Dlatego całka lub pochodna funkcji ƒ (x) if, ƒ (x) =fa(x) można zdefiniować jako funkcję fa(x), dla wszystkich x w domenie ƒ (x).

Wyrażenie ∫ƒ (x) dx oznacza pochodną funkcji ƒ (x). Jeśli ƒ (x) =fa(x), a następnie ∫ƒ (x) dx = fa(x) + C, gdzie C jest stałą, ∫ƒ (x) dx nazywa się całką nieoznaczoną ƒ (x).

Dla dowolnej funkcji ƒ, która niekoniecznie jest nieujemna i zdefiniowana w przedziale [a, b], _za∫^bƒ (x) dx nazywa się całką oznaczoną ƒ na [a, b].

Całka oznaczona _za∫^bƒ (x) dx funkcji ƒ (x) można interpretować geometrycznie jako obszar regionu ograniczony krzywą ƒ (x), oś x i linie x = ai x = b.