Różnica między pochodną a różnicą

Pochodna vs. Różnicowa
 

W rachunku różniczkowym pochodna i różniczka funkcji są ściśle powiązane, ale mają bardzo różne znaczenia i są używane do reprezentowania dwóch ważnych obiektów matematycznych związanych z funkcjami różniczkowymi.

Co to jest pochodna?

Pochodna funkcji mierzy szybkość, z jaką wartość funkcji zmienia się wraz ze zmianą jej danych wejściowych. W funkcjach wielu zmiennych zmiana wartości funkcji zależy od kierunku zmiany wartości zmiennych niezależnych. Dlatego w takich przypadkach wybierany jest określony kierunek, a funkcja jest zróżnicowana w tym konkretnym kierunku. Ta pochodna nazywana jest pochodną kierunkową. Częściowe instrumenty pochodne są szczególnym rodzajem pochodnych kierunkowych.

Pochodna funkcji o wartości wektorowej fa można zdefiniować jako limit wszędzie tam, gdzie istnieje. Jak wspomniano wcześniej, daje nam to tempo wzrostu funkcji fa wzdłuż kierunku wektora u. W przypadku funkcji o pojedynczej wartości sprowadza się to do dobrze znanej definicji pochodnej,  

Na przykład, jest wszędzie zróżnicowalny, a pochodna jest równa limitowi, , co jest równe . Pochodne funkcji takich jak   istnieją wszędzie. Są one odpowiednio równe funkcjom .                                                                                

Jest to znane jako pierwsza pochodna. Zwykle pierwsza pochodna funkcji fa jest oznaczony przez fa ⁽¹⁾. Korzystając z tej notacji, można zdefiniować pochodne wyższego rzędu. jest pochodną kierunkową drugiego rzędu i oznaczającą n^th pochodna przez fa ⁽ⁿ⁾ dla każdego n, ,  definiuje n^th pochodna.

Co jest różnicowe?

Różnica funkcji reprezentuje zmianę funkcji w odniesieniu do zmian zmiennej lub zmiennych niezależnych. W zwykłej notacji dla danej funkcji fa jednej zmiennej x, łączna różnica rzędów 1 df jest podane przez, . Oznacza to, że dla nieskończenie małej zmiany w x(tj. dx), będzie  fa ⁽¹⁾(x)rex zmienić w fa.

Używając limitów można skończyć z tą definicją w następujący sposób. Załóżmy ∆x jest zmiana w x w dowolnym momencie x i ∆fa jest odpowiednią zmianą funkcji fa. Można pokazać, że ∆f = f ⁽¹⁾(x) ∆x+ ϵ, gdzie ϵ jest błędem. Teraz limit ∆x →0^∆fa/_∆x= fa ⁽¹⁾(x) (przy użyciu poprzednio podanej definicji pochodnej), a zatem ∆x →0^ϵ/_∆x= 0. Dlatego można stwierdzić, że,x →0ϵ = 0. Teraz oznacza ∆x →0 ∆fa jak dfa i ∆x →0 ∆x jak dx rygorystycznie uzyskano definicję mechanizmu różnicowego. 

Na przykład różnica funkcji jest .

W przypadku funkcji dwóch lub więcej zmiennych całkowitą różnicę funkcji definiuje się jako sumę różnic w kierunkach każdej ze zmiennych niezależnych. Matematycznie można to określić jako .