Różnica między asocjatywną a przemienną

Skojarzenie vs przemienne
 

W naszym codziennym życiu musimy używać liczb, ilekroć potrzebujemy czegoś zmierzyć. W sklepie spożywczym, na stacji benzynowej, a nawet w kuchni, musimy dodać, odjąć i pomnożyć dwie lub więcej ilości. Z naszej praktyki wykonujemy te obliczenia bez wysiłku. Nigdy nie zauważamy ani nie pytamy, dlaczego wykonujemy te operacje w ten szczególny sposób. Lub dlaczego tych obliczeń nie można wykonać w inny sposób. Odpowiedź jest ukryta w sposobie definiowania tych operacji w matematycznym polu algebry.

W algebrze operacja obejmująca dwie wielkości (takie jak dodawanie) jest zdefiniowana jako operacja binarna. Mówiąc dokładniej, jest to operacja między dwoma elementami z zestawu, które to elementy nazywane są „operandem”. Wiele operacji w matematyce, w tym operacje arytmetyczne wspomniane wcześniej i te spotykane w teorii mnogości, algebrze liniowej i logice matematycznej, można zdefiniować jako operacje binarne.

Istnieje zestaw reguł rządzących dotyczących konkretnej operacji binarnej. Właściwości asocjacyjne i przemienne to dwie podstawowe właściwości operacji binarnych.

Więcej informacji o własności komutacyjnej

Załóżmy, że na elementach wykonywana jest jakaś operacja binarna oznaczona symbolem ⊗ ZA i b. Jeśli kolejność operandów nie wpływa na wynik operacji, wówczas mówi się, że operacja jest przemienna. tj. jeśli ZA ⊗ b = b ⊗ ZA wtedy operacja jest przemienna.

Dodawanie i mnożenie operacji arytmetycznych są przemienne. Kolejność liczb dodanych lub pomnożonych razem nie wpływa na ostateczną odpowiedź:

ZA + b = b + ZA     ⇒ 4 + 5 = 5 + 4 = 9

ZA × b = b × ZA     ⇒ 4 × 5 = 5 × 4 = 20

Ale w przypadku podziału podział w kolejności daje odwrotność drugiego, a po odjęciu zmiana daje minus drugiego. W związku z tym,

ZA - b ≠ b - ZA     ⇒ 4 - 5 = -1 i 5 - 4 = 1

ZA ÷ b ≠ b ÷ ZA     ⇒ 4 ÷ 5 = 0,8 i 5 ÷ 4 = 1,25 [w tym przypadku ZA,b ≠ 1 i 0]

W rzeczywistości mówi się, że odejmowanie jest antykomutacyjne; gdzie ZA - b = - (b - ZA).

Również łączniki logiczne, koniunkcja, rozłączenie, implikacja i równoważność również są przemienne. Funkcje prawdy są także przemienne. Ustawiona operacja unii i przecięcia są przemienne. Dodawanie i iloczyn skalarny wektorów również są przemienne.

Ale odejmowanie i iloczyn wektorowy nie jest przemienny (iloczyn wektorowy dwóch wektorów jest przeciwny przemienny). Dodawanie macierzy jest przemienne, ale mnożenie i odejmowanie nie są przemienne. (Mnożenie dwóch macierzy może być przemienne w szczególnych przypadkach, takich jak mnożenie macierzy z jej odwrotnością lub macierzą tożsamości; ale zdecydowanie macierze nie są przemienne, jeśli macierze nie są tego samego rozmiaru)

Więcej informacji o nieruchomościach stowarzyszonych

Mówi się, że operacja binarna jest asocjacyjna, jeśli kolejność wykonywania nie wpływa na wynik, gdy występują dwa lub więcej wystąpień operatora. Rozważ elementy A, B i do oraz operacja binarna ⊗. Mówi się, że operacja ⊗ jest asocjacyjna, jeśli

ZA ⊗ b ⊗ do = ZA ⊗ (b ⊗ do) = (ZA ⊗ b) ⊗ do

Od podstawowych funkcji arytmetycznych tylko dodawanie i mnożenie są asocjatywne.

ZA + (b + do) = (ZA + b) + do     ⇒ 4 + (5 + 3) = (5 + 4) + 3 = 12

ZA × (b × do) = (ZA × b) × do     ⇒ 4 × (5 × 3) = (5 × 4) × 3 = 60

Odejmowanie i dzielenie nie są skojarzone;

ZA - (b - do) ≠ (ZA - b) - do     ⇒ 4 - (5 - 3) = 2 i (5 - 4) - 3 = -2

ZA ÷ (b ÷ do) ≠ (ZA ÷ b) ÷ do     ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3) = 2,4 i (5 ÷ 4) ÷ 3 = 0,2666

Logiczne rozłączenie, łączenie i równoważność łączników są asocjatywne, podobnie jak zbiór operacji i przecięcie. Dodanie macierzy i wektora jest asocjacyjne. Iloczyn skalarny wektorów jest asocjatywny, ale iloczyn wektorowy nie. Mnożenie macierzy jest asocjacyjne tylko w szczególnych okolicznościach.

Jaka jest różnica między własnością przemienną a asocjacyjną?

• Zarówno właściwość asocjacyjna, jak i właściwość przemienna są specjalnymi właściwościami operacji binarnych, a niektóre je spełniają, a niektóre nie.

• Te właściwości można zobaczyć w wielu formach operacji algebraicznych i innych operacjach binarnych w matematyce, takich jak przecięcie i połączenie w teorii mnogości lub łączniki logiczne.

• Różnica między przemiennością a asocjacją polega na tym, że właściwość przemienności stwierdza, że ​​kolejność elementów nie zmienia wyniku końcowego, podczas gdy właściwość asocjacyjna stwierdza, że ​​kolejność wykonywania operacji nie wpływa na ostateczną odpowiedź.