Różnica między własnością przechodnią a właściwością substytucji

Własność przechodnia a własność zastępcza

Właściwość podstawienia służy do wartości lub zmiennych reprezentujących liczby. Właściwość podstawienia równości stwierdza, że ​​dla dowolnej liczby za i b, gdyby a = b, następnie za może być zastąpiony przez b. Dlatego jeśli a = b, możemy zmienić dowolne „a” na „b” lub dowolne „b” na „a”.

Na przykład, jeśli podano, że x = 6, możemy rozwiązać wyrażenie (x + 4) / 5, podstawiając wartość x. Podstawiając 5 na x w powyższym wyrażeniu; (6 + 4) / 5 = 2. Zasadniczo dowolne dwie wartości mogą być zamieniane na siebie, tylko wtedy, gdy są sobie równe.

Istnieje właściwość podstawienia zdefiniowana w geometrii. Zgodnie z tą definicją właściwości podstawienia, jeśli dwa obiekty geometryczne (mogą to być dwa kąty, segmenty, trójkąty lub cokolwiek innego) są zgodne, wówczas te dwa obiekty geometryczne można zastąpić innymi w zestawieniu obejmującym jeden z nich.

Właściwość przechodnia jest bardziej formalną definicją, która jest zdefiniowana w relacjach binarnych. Relacja R ze zbioru A do zbioru B jest zbiorem uporządkowanych par, jeśli A i B są równe, mówimy, że relacja jest relacją binarną na A. Właściwość przechodnia jest jedną z właściwości (Refleksyjna, Symetryczna, Transitive) używany do definiowania relacji równoważności.

Relacja R jest przechodni, jeśli i tylko wtedy, gdy x jest powiązane R od y, a y jest powiązane R od z, to x jest powiązane R od z. Symbolicznie właściwość przechodnia można zdefiniować w następujący sposób. Niech a, b i c należące do zbioru A, relacja binarna „~” ma właściwość przechodnią zdefiniowaną przez,Jeśli a ~ b i b ~ c, to oznacza to ~ c.

Dla przykładu, „Bycie większym niż” jest relacją przechodnią. Jeśli a, b i c są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, na przykład, a jest większe niż b, a b jest większe niż c, to logiczną konsekwencją jest to, że a jest większe niż c. „Być wyższym” jest także relacją przechodnią. Jeśli Kate jest wyższa od Mary, a Mary wyższa od Jenney, oznacza to, że Kate jest wyższa od Jenney.

Nie możemy stosować kryteriów relacji przechodnich do wszystkich relacji binarnych. Na przykład, jeśli Bill jest ojcem Johna, a John jest ojcem Freda, co nie oznacza, że ​​Bill jest ojcem Freda. Podobnie „polubienia” są własnością nieprzechodnią. Jeśli Wilson lubi Henry'ego, a Henry lubi Davida, nie oznacza to, że Wilson lubi Davida. Dlatego nie jest to relacja przechodnia.

W geometrii Właściwość przechodnia (dla trzech segmentów lub kątów) jest zdefiniowana w następujący sposób:

Jeśli dwa segmenty (lub kąty) są zgodne z trzecim segmentem (lub kątem), to są one zgodne ze sobą.

Przechodnia właściwość równości jest zdefiniowana następująco. Niech a, b i c są dowolnymi trzema elementami w zestawie A, takimi, że a = b i b = c, a następnie a = c. Wygląda to podobnie do właściwości podstawienia, którą można uznać za zastąpienie b przez cw równaniu a = b. Jednak te dwie właściwości nie są takie same.