Różnica między całką Riemanna a całką Lebesgue'a

Riemann Integral vs Lebesgue Integral

Integracja jest głównym tematem w rachunku różniczkowym i całkowym. W pewnym sensie integracja może być postrzegana jako odwrotny proces różnicowania. Podczas modelowania rzeczywistych problemów łatwo jest pisać wyrażenia dotyczące pochodnych. W takiej sytuacji operacja integracji jest wymagana do znalezienia funkcji, która dała daną pochodną.

Z innego punktu widzenia integracja jest procesem, który sumuje iloczyn funkcji ƒ (x) i δx, gdzie δx ma tendencję do pewnego ograniczenia. Dlatego używamy symbolu integracji jako ∫. Symbol ∫ jest w rzeczywistości tym, co otrzymujemy, rozciągając literę s, aby odnieść się do sumy.

Riemann Integral

Rozważ funkcję y = ƒ (x). Całka y pomiędzy za i b, gdzie za i b należą do zestawu x, jest zapisany jako _b∫^zaƒ (x) dx = [fa(x)]_za→b = fa(b) - fa(za). Nazywa się to całką oznaczoną funkcji pojedynczej i ciągłej y = ƒ (x) między a i b. Daje to pole pod krzywą pomiędzy za i b. Jest to również nazywane całką Riemanna. Całka Riemanna została stworzona przez Bernharda Riemanna. Całka Riemanna funkcji ciągłej oparta jest na miary Jordana, dlatego też jest również definiowana jako granica sum funkcji Riemanna. Dla funkcji o wartościach rzeczywistych zdefiniowanych w przedziale zamkniętym, całka Riemanna funkcji w odniesieniu do podziału x₁, x₂₎,…, X_n zdefiniowane w przedziale [a, b] it₁, t₂₎,…, T_n, gdzie x_ja ≤ t_ja ≤ x_{i + 1} dla każdego i ε 1, 2,…, n suma Riemanna jest zdefiniowana jako Σ_{i = o do n-1} ƒ (t_ja) (x_{i + 1} - x_ja).

Całka Lebesgue'a

Lebesgue jest innym rodzajem całki, która obejmuje szeroki zakres przypadków niż całka Riemanna. Całka lebesgue została wprowadzona przez Henri Lebesgue w 1902 roku. Integrację Legesgue można uznać za uogólnienie integracji Riemann.

Dlaczego musimy studiować kolejną całkę?

Rozważmy funkcję charakterystyczną ƒ_{A (x) = 0 jeśli x nie ε A}^{1 jeśli x ε A} na zbiorze A. Następnie skończona liniowa kombinacja funkcji charakterystycznych, która jest zdefiniowana jako fa(x) = Σ a_jaƒmi_ja(x) nazywa się funkcją prostą if mi_ja jest mierzalne dla każdego Całka Lebesgue'a z fa(x) ponad mi jest oznaczony przez _mi∫ ƒ (x) dx. Funkcja fa(x) nie jest liczbą całkowitą Riemanna. Dlatego całka Lebesgue jest przeformułowaniem całki Riemanna, która ma pewne ograniczenia dotyczące integrowanych funkcji.