Różnica między zmiennymi losowymi a rozkładem prawdopodobieństwa

Zmienne losowe a rozkład prawdopodobieństwa

Eksperymenty statystyczne są eksperymentami losowymi, które można powtarzać w nieskończoność ze znanym zestawem wyników. Zarówno zmienne losowe, jak i rozkłady prawdopodobieństwa są powiązane z takimi eksperymentami. Dla każdej zmiennej losowej istnieje powiązany rozkład prawdopodobieństwa zdefiniowany przez funkcję zwaną funkcją rozkładu skumulowanego.

Co to jest zmienna losowa?

Zmienna losowa jest funkcją, która przypisuje wartości liczbowe do wyników eksperymentu statystycznego. Innymi słowy, jest to funkcja zdefiniowana z przestrzeni próbki eksperymentu statystycznego na zbiór liczb rzeczywistych.

Rozważmy na przykład przypadkowy eksperyment polegający na dwukrotnym rzucie monetą. Możliwe wyniki to HH, HT, TH i TT (H - głowy, T - opowieści). Niech zmienna X będzie liczbą głów zaobserwowanych w eksperymencie. Następnie X może przyjąć wartości 0, 1 lub 2 i jest to zmienna losowa. Tutaj zmienna losowa X zamapuje zbiór S = HH, HT, TH, TT (przestrzeń próbki) na zbiór 0, 1, 2 w taki sposób, że HH jest odwzorowany na 2, HT i TH są mapowane na 1, a TT jest mapowane na 0. W notacji funkcji można to zapisać jako: X: S → R, gdzie X (HH) = 2, X (HT) = 1, X (TH) = 1 i X ( TT) = 0.

Istnieją dwa typy zmiennych losowych: dyskretna i ciągła, odpowiednio liczba możliwych wartości, które może przyjąć zmienna losowa, jest co najwyżej policzalna lub nie. W poprzednim przykładzie zmienna losowa X jest dyskretną zmienną losową, ponieważ 0, 1, 2 jest zbiorem skończonym. Rozważmy teraz statystyczny eksperyment polegający na znalezieniu ciężarów uczniów w klasie. Niech Y będzie zmienną losową zdefiniowaną jako waga ucznia. Y może przyjąć dowolną rzeczywistą wartość w określonym przedziale. Zatem Y jest ciągłą zmienną losową.

Co to jest rozkład prawdopodobieństwa?

Rozkład prawdopodobieństwa jest funkcją opisującą prawdopodobieństwo, że zmienna losowa przyjmie określone wartości.

Funkcja zwana funkcją rozkładu skumulowanego (F) może być zdefiniowana ze zbioru liczb rzeczywistych do zbioru liczb rzeczywistych jako F (x) = P (X ≤ x) (prawdopodobieństwo X jest mniejsze lub równe x) dla każdy możliwy wynik x. Teraz funkcję rozkładu skumulowanego X w pierwszym przykładzie można zapisać jako F (a) = 0, jeśli a<0; F(a)=0.25, if 0≤a<1; F(a)=0.75, if 1≤a<2 and F(a)=1, if a≥2.

W przypadku dyskretnych zmiennych losowych można zdefiniować funkcję od zbioru możliwych wyników do zbioru liczb rzeczywistych w taki sposób, że ƒ (x) = P (X = x) (prawdopodobieństwo X równe x) dla każdego możliwego wyniku x. Ta szczególna funkcja ƒ jest nazywana funkcją masy prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Teraz funkcję masy prawdopodobieństwa X w pierwszym konkretnym przykładzie można zapisać jako ƒ (0) = 0,25, ƒ (1) = 0,5, ƒ (2) = 0,25, a ƒ (x) = 0 w przeciwnym razie. Zatem funkcja masy prawdopodobieństwa wraz z funkcją rozkładu skumulowanego będzie opisywać rozkład prawdopodobieństwa X w pierwszym przykładzie.

W przypadku ciągłych zmiennych losowych funkcję zwaną funkcją gęstości prawdopodobieństwa (ƒ) można zdefiniować jako ƒ (x) = dF (x) / dx dla każdego x, gdzie F jest funkcją skumulowanego rozkładu ciągłej zmiennej losowej. Łatwo zauważyć, że funkcja ta spełnia ∫ƒ (x) dx = 1. Funkcja gęstości prawdopodobieństwa wraz z funkcją rozkładu skumulowanego opisuje rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej. Na przykład rozkład normalny (który jest ciągłym rozkładem prawdopodobieństwa) opisano za pomocą funkcji gęstości prawdopodobieństwa ƒ (x) = 1 / √ (2πσ²⁾) e ^ ([(x-µ)]²⁾/ (2σ²⁾)).