Różnica między wzajemnie wykluczającymi się i niezależnymi wydarzeniami

Wzajemnie wykluczające się i niezależne wydarzenia

Ludzie często mylą pojęcie wzajemnie wykluczających się wydarzeń z niezależnymi wydarzeniami. W rzeczywistości są to dwie różne rzeczy.

Niech A i B będą dowolnymi dwoma zdarzeniami związanymi z przypadkowym eksperymentem E. P (A) nazywa się „prawdopodobieństwem A”. Podobnie możemy zdefiniować prawdopodobieństwo B jako P (B), prawdopodobieństwo A lub B jako P (A∪B), a prawdopodobieństwo A i B jako P (A∩B). Następnie P (A∪B) = P (A) + P (B) -P (A∩B).

Jednak dwa zdarzenia wzajemnie się wykluczają, jeśli wystąpienie jednego zdarzenia nie wpływa na drugie. Innymi słowy, nie mogą wystąpić jednocześnie. Dlatego jeśli dwa zdarzenia A i B wykluczają się wzajemnie, to A∩B = ∅ i stąd implikuje P (A∪B) = P (A) + P (B).

Niech A i B będą dwoma zdarzeniami w przestrzeni próbnej S. Prawdopodobieństwo warunkowe A, biorąc pod uwagę, że wystąpiło B, jest oznaczone przez P (A | B) i jest zdefiniowane jako; P (A | B) = P (A∩B) / P (B), pod warunkiem, że P (B)> 0. (w przeciwnym razie nie jest zdefiniowane).

Zdarzenie A uważa się za niezależne od zdarzenia B, jeżeli na prawdopodobieństwo wystąpienia A nie ma wpływu to, czy B wystąpiło, czy nie. Innymi słowy, wynik zdarzenia B nie ma wpływu na wynik zdarzenia A. Dlatego P (A | B) = P (A). Podobnie B jest niezależne od A, jeśli P (B) = P (B | A). Możemy zatem stwierdzić, że jeśli A i B są zdarzeniami niezależnymi, to P (A∩B) = P (A) .P (B)

Załóżmy, że kostka z numerem jest wyrzucana, a uczciwa moneta odrzucana. Niech A będzie zdarzeniem, które zdobędzie głowę, a B będzie zdarzeniem, które wyrzuci parzystą liczbę. Następnie możemy stwierdzić, że zdarzenia A i B są niezależne, ponieważ wynik jednego nie wpływa na wynik drugiego. Dlatego P (A∩B) = P (A). P (B) = (1/2) (1/2) = 1/4. Ponieważ P (A∩B) ≠ 0, A i B nie mogą się wykluczać.

Załóżmy, że urna zawiera 7 białych kulek i 8 czarnych kulek. Zdarzenie A należy zdefiniować jako narysowanie białego marmuru, a zdarzenie B - jako narysowanie czarnego marmuru. Zakładając, że każdy marmur zostanie zastąpiony po zanotowaniu jego koloru, wówczas P (A) i P (B) zawsze będą takie same, bez względu na to, ile razy będziemy czerpać z urny. Zastąpienie kulek oznacza, że ​​prawdopodobieństwo nie zmienia się od losowania do losowania, bez względu na to, jaki kolor wybraliśmy podczas ostatniego losowania. Dlatego zdarzenia A i B są niezależne.

Jeśli jednak kulki zostaną narysowane bez wymiany, wszystko się zmieni. Przy takim założeniu zdarzenia A i B nie są niezależne. Narysowanie białego marmuru po raz pierwszy zmienia prawdopodobieństwo narysowania czarnego marmuru przy drugim losowaniu i tak dalej. Innymi słowy, każde losowanie ma wpływ na następne losowanie, dlatego poszczególne losowania nie są niezależne.