Różnica między średnią, medianą i trybem
Share
Średni vs Mediana vs Tryb
Średnia, mediana i tryb są pierwszorzędne miary tendencji centralnej stosowane w statystykach opisowych. Różnią się one całkowicie od siebie, a przypadki, w których są wykorzystywane do podsumowania danych, są również różne.
Oznaczać
Średnia arytmetyczna to suma wartości danych podzielona przez liczbę wartości danych, tj.
Jeśli dane pochodzą z przestrzeni próbki, nazywa się to średnią próbki (
Weźmy na przykład średni dochód mieszkańców danego miasta. Ponieważ wszystkie wartości danych są sumowane, a następnie dzielone, dochód osoby bardzo zamożnej znacząco wpływa na średnią. Dlatego średnie wartości nie zawsze stanowią dobrą reprezentację danych.
Również w przypadku sygnału przemiennego prąd przepływający przez element zmienia się okresowo od kierunku dodatniego do kierunku ujemnego i odwrotnie. Jeśli weźmiemy średni prąd przepływający przez element w jednym okresie, da to 0, co oznacza, że żaden prąd nie przepłynął przez element, co oczywiście nie jest prawdą. Dlatego też w tym przypadku średnia arytmetyczna nie jest dobrą miarą.
Średnia arytmetyczna jest dobrym wskaźnikiem, gdy dane są równomiernie rozłożone. Dla rozkładu normalnego średnia jest równa trybowi i medianie. Ma również najniższe wartości resztkowe, biorąc pod uwagę błąd pierwiastkowy do kwadratu; dlatego najlepszym środkiem opisowym, gdy wymagane jest reprezentowanie zestawu danych za pomocą pojedynczej liczby.
Mediana
Wartości środkowego punktu danych po ułożeniu wszystkich wartości danych w porządku rosnącym są zdefiniowane jako mediana zestawu danych. Mediana to 2. kwartyl, 5. decyl i 50 percentyl.
• Jeśli liczba obserwacji (punktów danych) jest nieparzysta, wówczas mediana jest obserwacją dokładnie na środku uporządkowanej listy.
• Jeśli liczba obserwacji (punktów danych) jest parzysta, to mediana jest średnią z dwóch środkowych obserwacji na uporządkowanej liście.
Mediana dzieli obserwację na dwie grupy; tj. grupa (50%) wartości wyższych i grupa (50%) wartości niższych niż mediana. Mediany są szczególnie stosowane w przekrzywionych rozkładach i reprezentują dane znacznie lepsze niż średnia arytmetyczna.
Tryb
Tryb jest najczęściej występującą liczbą w zestawie obserwacji. Tryb zbioru danych jest obliczany przez znalezienie częstotliwości każdego elementu w zestawie.
• Jeśli żadna wartość nie wystąpi więcej niż jeden raz, wówczas zestaw danych nie ma trybu.
• W przeciwnym razie każda wartość występująca z największą częstotliwością jest trybem zestawu danych.
W zestawie może istnieć więcej niż jeden tryb; dlatego tryb nie jest unikalną statystyką zestawu danych. W jednolitym rozkładzie istnieje jeden tryb. Tryb dyskretnego rozkładu prawdopodobieństwa to punkt, w którym funkcja masy prawdopodobieństwa osiąga najwyższy punkt. Na podstawie powyższych interpretacji możemy to powiedzieć globalne maksima są tryby.
Rozważ zastosowanie wszystkich trzech środków do następującego zestawu danych.
DANE: 1, 1, 2, 3, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 14, 14, 15, 15 , 15
Średnia = (1+ 1+ 2+ 3+ 5+ 5+ 5+ 5+ 6+ 6+ 8+ 8+ 9+ 9+ 9+ 9+ 10+ 10+ 10+ 14+ 14+ 15+ 15+ 15 ) / 25 = 8,12
Mediana = 9 (13. element)
Tryb = 9 (częstotliwość 9 = 5)
Jaka jest różnica między średnią, medianą i trybem?
• Średnia arytmetyczna to suma wartości (obserwacji) podzielona przez liczbę obserwacji. Nie jest to solidna statystyka i silnie zależy od normalnego charakteru rozkładu w rozważanym rozkładzie. Pojedyncza wartość odstająca może spowodować znaczące przesunięcie średniej, dając względnie wprowadzające w błąd wartości. Pojęcie to można rozszerzyć na średnią geometryczną, średnią harmoniczną, średnią ważoną i tak dalej.
• Mediana to średnie wartości zbioru obserwacji i na wartości odstające mają stosunkowo mniejszy wpływ. Może to dać dobre oszacowanie jako statystyka podsumowująca w bardzo wypaczonych przypadkach.
• Tryb to najczęstsze wartości obserwacji w zbiorze danych. Jeśli rozkład jest przekrzywiony dodatnio, tryb leży w lewo do mediany, a jeśli jest przekrzywiony ujemnie, tryb leży w prawo do mediany.
• Jeśli jest pozytywnie wypaczony, średnia jest odpowiednia do mediany; jeśli ujemnie wypaczona średnia jest po lewej stronie mediany.
• W rozkładzie normalnym wszystkie trzy, średnia, tryb i mediana są równe.
