Różnica między równaniem liniowym a równaniem kwadratowym

Równanie liniowe a równanie kwadratowe

W matematyce równania algebraiczne to równania utworzone za pomocą wielomianów. Gdy zostaną wyraźnie zapisane, równania będą miały postać P (x) = 0, gdzie x jest wektorem n nieznanych zmiennych, a P jest wielomianem. Na przykład P (x, y) = x⁴ + y³⁾ + x²⁾y + 5 = 0 jest równaniem algebraicznym dwóch zmiennych zapisanych wprost. Ponadto (x + y)³⁾= 3x²⁾y - 3zy⁴ jest równaniem algebraicznym, ale w formie niejawnej. Przyjmie postać Q (x, y, z) = x³⁾ + y³⁾ + 3xy²⁾+3zy⁴= 0, raz napisane jednoznacznie.

Ważną cechą równania algebraicznego jest jego stopień. Zdefiniowano go jako najwyższą potęgę terminów występujących w równaniu. Jeśli termin składa się z dwóch lub więcej zmiennych, suma wykładników każdej zmiennej zostanie uznana za potęgę tego terminu. Zauważ, że zgodnie z tą definicją P (x, y) = 0 ma stopień 4, natomiast Q (x, y, z) = 0 ma stopień 5.

Równania liniowe i równania kwadratowe to dwa różne typy równań algebraicznych. Stopień równania jest czynnikiem, który odróżnia je od reszty równań algebraicznych.

Co to jest równanie liniowe?

Równanie liniowe jest równaniem algebraicznym stopnia 1. Na przykład 4x + 5 = 0 jest równaniem liniowym jednej zmiennej. x + y + 5z = 0 i 4x = 3w + 5y + 7z są równaniami liniowymi odpowiednio 3 i 4 zmiennych. Zasadniczo równanie liniowe n zmiennych przyjmie postać m₁x₁ +m₂₎x₂₎ +… + M_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Tutaj x_jato nieznane zmienne, m_ja's i b są liczbami rzeczywistymi, gdzie każdy z m_ja jest niezerowy.

Takie równanie reprezentuje hiperpłaszczyznę w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności, dwa zmienne równanie liniowe reprezentuje linię prostą w płaszczyźnie kartezjańskiej, a trzy zmienne równanie liniowe reprezentuje płaszczyznę na 3-przestrzeni Euklidesa.

Co to jest równanie kwadratowe?

Równanie kwadratowe jest równaniem algebraicznym drugiego stopnia. x²⁾ + 3x + 2 = 0 to równanie kwadratowe z pojedynczą zmienną. x²⁾ + y²⁾ + 3x = 4 i 4x²⁾ + y²⁾ + 2z²⁾ + x + y + z = 4 to przykłady równań kwadratowych odpowiednio 2 i 3 zmiennych.

W przypadku pojedynczej zmiennej ogólną formą równania kwadratowego jest ax²⁾ + bx + c = 0. Gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi, z których „a” jest niezerowe. Dyskryminator ∆ = (b²⁾ - 4ac) określa naturę pierwiastków równania kwadratowego. Pierwiastki równania będą naprawdę wyraźne, naprawdę podobne i złożone, ponieważ ∆ jest dodatnie, zero i ujemne. Korzenie równania można łatwo znaleźć za pomocą wzoru x = (- b ± √∆) / 2a.

W przypadku dwóch zmiennych ogólną formą byłoby ax²⁾ + przez²⁾ + cxy + dx + ex + f = 0, a to reprezentuje stożek (parabola, hiperbola lub elipsa) w płaszczyźnie kartezjańskiej. W wyższych wymiarach ten typ równań reprezentuje hiper-powierzchnie znane jako kwadraty.