Różnica między równaniem liniowym a równaniem nieliniowym

Równanie liniowe a równanie nieliniowe

W matematyce równania algebraiczne są równaniami, które są tworzone za pomocą wielomianów. Gdy zostaną wyraźnie zapisane, równania będą miały postać P (x) = 0, gdzie x jest wektorem n nieznanych zmiennych, a P jest wielomianem. Na przykład P (x, y) = 4x⁵ + xy³⁾ + y + 10 = 0 jest równaniem algebraicznym w dwóch zmiennych zapisanych wprost. Ponadto (x + y)³⁾ = 3x²⁾y - 3zy⁴ jest równaniem algebraicznym, ale w formie niejawnej i przyjmie postać Q (x, y, z) = x³⁾ + y³⁾ + 3xy²⁾ +3zy⁴ = 0, raz napisane jednoznacznie.

Ważną cechą równania algebraicznego jest jego stopień. Zdefiniowano go jako najwyższą potęgę terminów występujących w równaniu. Jeśli termin składa się z dwóch lub więcej zmiennych, suma wykładników każdej zmiennej zostanie uznana za potęgę tego terminu. Zauważ, że zgodnie z tą definicją P (x, y) = 0 ma stopień 5, natomiast Q (x, y, z) = 0 ma stopień 5.

Równania liniowe i nieliniowe są dwiema podziałami zdefiniowanymi na zbiorze równań algebraicznych. Stopień równania jest czynnikiem, który je odróżnia.

Co to jest równanie liniowe?

Równanie liniowe jest równaniem algebraicznym stopnia 1. Na przykład 4x + 5 = 0 jest równaniem liniowym jednej zmiennej. x + y + 5z = 0 i 4x = 3w + 5y + 7z są równaniami liniowymi odpowiednio 3 i 4 zmiennych. Zasadniczo równanie liniowe n zmiennych przyjmie postać m₁x₁ + m₂₎x₂₎ +… + M_n-1x_n-1 + m_nx_n = b. Tutaj x_jato nieznane zmienne, m_ja's i b są liczbami rzeczywistymi, gdzie każdy z m_ja jest niezerowy.

Takie równanie reprezentuje hiperpłaszczyznę w n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej. W szczególności, dwa zmienne równanie liniowe reprezentuje linię prostą w płaszczyźnie kartezjańskiej, a trzy zmienne równanie liniowe reprezentuje płaszczyznę na 3-przestrzeni Euklidesa.

Co to jest równanie nieliniowe?

Równanie kwadratowe jest równaniem algebraicznym, które nie jest liniowe. Innymi słowy, równanie nieliniowe jest równaniem algebraicznym o stopniu 2 lub wyższym. x²⁾ + 3x + 2 = 0 to równanie nieliniowe z jedną zmienną. x²⁾ + y³⁾+ 3xy = 4 i 8yzx²⁾ + y²⁾ + 2z²⁾ + x + y + z = 4 to przykłady nieliniowych równań odpowiednio 3 i 4 zmiennych.

Równanie nieliniowe drugiego stopnia nazywane jest równaniem kwadratowym. Jeśli stopień wynosi 3, nazywa się to równaniem sześciennym. Równania stopnia 4 i stopnia 5 nazywane są odpowiednio równaniami kwartalnym i kwintycznym. Udowodniono, że nie istnieje metoda analityczna do rozwiązania jakiegokolwiek nieliniowego równania stopnia 5, i dotyczy to również każdego wyższego stopnia. Rozwiązane równania nieliniowe reprezentują hiperpowierzchnie, które nie są hiperpłaszczyznami.