Różnica między transformatami Laplace'a i Fouriera

Transformacje Laplace'a i Fouriera
 

Zarówno transformata Laplace'a, jak i transformata Fouriera są transformatami integralnymi, które są najczęściej stosowane jako metody matematyczne do rozwiązywania matematycznie modelowanych układów fizycznych. Proces jest prosty. Złożony model matematyczny przekształca się w prostszy model do rozwiązania przy użyciu transformacji integralnej. Po rozwiązaniu prostszego modelu stosowana jest odwrotna transformata całkowa, która zapewni rozwiązanie oryginalnego modelu.

Na przykład, ponieważ większość układów fizycznych daje równania różniczkowe, można je przekształcić w równania algebraiczne lub w łatwiejsze do rozwiązania równania różniczkowe o niższym stopniu za pomocą transformaty całkowej. Wtedy rozwiązanie problemu stanie się łatwiejsze.

Co to jest transformata Laplace'a?

Biorąc pod uwagę funkcję fa (t) rzeczywistej zmiennej t, jego transformata Laplace'a jest zdefiniowana przez całkę (ilekroć istnieje), która jest funkcją zmiennej złożonej s. Zazwyczaj jest oznaczony przez L fa (t). Odwrotna transformata Laplace'a funkcji fa(s) przyjmuje się za funkcję fa (t) w taki sposób, że L fa (t) = fa(s), a w zwykłym zapisie matematycznym piszemy: L ^-1fa(s) = fa (t).Odwrotną transformację można uczynić unikalną, jeśli funkcje zerowe nie są dozwolone. Można je zidentyfikować jako operatory liniowe zdefiniowane w przestrzeni funkcji, i łatwo to zauważyć, L ^-1L fa (t) = fa (t), jeśli funkcje zerowe są niedozwolone.

W poniższej tabeli wymieniono transformaty Laplace'a niektórych z najczęściej używanych funkcji.

Co to jest transformata Fouriera?

Biorąc pod uwagę funkcję fa (t) rzeczywistej zmiennej t, jego transformata Laplace'a jest zdefiniowana przez całkę (gdy istnieje) i zwykle jest oznaczony przez F fa (t). Odwrotna transformata F ^-1fa(α) jest podane przez całkę . Transformacja Fouriera jest również liniowa i można ją traktować jako operator zdefiniowany w przestrzeni funkcji.

Korzystając z transformacji Fouriera, oryginalną funkcję można zapisać w następujący sposób, pod warunkiem, że funkcja ma tylko skończoną liczbę nieciągłości i jest absolutnie całkowa.

Jaka jest różnica między transformatą Laplace'a a transformatą Fouriera?

• Transformata Fouriera funkcji fa (t) jest zdefiniowany jako , podczas gdy jego transformata Laplace'a jest zdefiniowana jako .
• Transformacja Fouriera jest zdefiniowana tylko dla funkcji zdefiniowanych dla wszystkich liczb rzeczywistych, podczas gdy transformata Laplace'a nie wymaga zdefiniowania funkcji przy ustawianiu ujemnych liczb rzeczywistych.
• Transformacja Fouriera jest szczególnym przypadkiem transformaty Laplace'a. Można zauważyć, że oba są zbieżne dla nieujemnych liczb rzeczywistych. (tj. weź s w Laplace iα + β gdzie α i β są takie, że mi ^β= ¹/_{√ (2ᴫ)})
• Każda funkcja, która ma transformatę Fouriera, będzie miała transformatę Laplace'a, ale nie odwrotnie.