Różnica między integracją a sumowaniem

Integracja a sumowanie
 

W matematyce ponadgimnazjalnej integracja i sumowanie często występują w operacjach matematycznych. Pozornie są używane jako różne narzędzia i w różnych sytuacjach, ale mają bardzo bliski związek.

Więcej o Podsumowaniu

Sumowanie to operacja dodawania sekwencji liczb, a operacja ta jest często oznaczana grecką literą wielkiej litery ig. Służy do skrócenia sumy i jest równa sumie / sumie sekwencji. Są one często używane do przedstawienia serii, które są w istocie nieskończonymi sekwencjami podsumowanymi. Można ich również użyć do wskazania sumy wektorów, macierzy lub wielomianów.

Sumowanie jest zwykle wykonywane dla zakresu wartości, które mogą być reprezentowane przez ogólny termin, taki jak seria, która ma wspólny termin. Punkt początkowy i końcowy sumowania są znane odpowiednio jako dolna granica i górna granica sumowania.

Na przykład suma sekwencji a₁, za₂₎, za₃₎, za₄, …, A_n jest₁ + za₂₎ + za₃₎ +… + A_n które można łatwo przedstawić za pomocą notacji sumującej jako ∑ⁿ_{i = 1} za_ja; nazywany jest indeksem sumowania.

W podsumowaniu na podstawie aplikacji stosuje się wiele odmian. W niektórych przypadkach górną granicę i dolną granicę można podać jako interwał lub zakres, na przykład ∑_1≤i≤100 za_ja i ∑_{i∈ [1100]} za_ja. Lub może być podany jako zestaw liczb takich jak ∑_i∈P za_ja , gdzie P jest zdefiniowanym zbiorem.

W niektórych przypadkach można zastosować dwa lub więcej znaków sigma, ale można je uogólnić w następujący sposób; ∑_jot ∑_k za_jk = ∑_{j, k} za_jk.

Ponadto sumowanie podlega wielu regułom algebraicznym. Ponieważ operacja osadzona jest dodatkiem, wiele wspólnych reguł algebry można zastosować do samych sum i do poszczególnych terminów przedstawionych w podsumowaniu.

Więcej o integracji

Integracja jest definiowana jako odwrotny proces różnicowania. Ale w widoku geometrycznym można go również traktować jako obszar objęty krzywą funkcji i osi. Dlatego obliczenie pola daje wartość całkowitej całki, jak pokazano na schemacie.

Źródło obrazu: http://en.wikipedia.org/wiki/File:Riemann_sum_convergence.png

Wartość całkowitej całki jest w rzeczywistości sumą małych pasków wewnątrz krzywej i osi. Obszar każdego paska to wysokość × szerokość w punkcie na rozpatrywanej osi. Szerokość to wartość, którą możemy wybrać, powiedzmy ∆x. Powiedzmy, że wysokość jest w przybliżeniu wartością funkcji w rozważanym punkcie fa(x_ja). Z wykresu widać, że im mniejsze paski, tym lepiej pasują do ograniczonego obszaru, stąd lepsze przybliżenie wartości.

Zatem ogólnie całka oznaczona ja, między punktami aib (tj. w przedziale [a, b], gdzie aja ≅ fa(x₁) ∆x + fa(x₂₎) ∆x + ⋯ + fa(x_n) ∆x, gdzie n jest liczbą pasków (n = (b-a) / ∆x). To podsumowanie obszaru można łatwo przedstawić za pomocą notacji sumującej as ja ≅ ∑ⁿ_{i = 1} fa(x_ja) ∆x. Ponieważ przybliżenie jest lepsze, gdy ∆x jest mniejsze, możemy obliczyć wartość, gdy ∆x → 0. Dlatego uzasadnione jest stwierdzenie ja = lim_{→x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} fa(x_ja) ∆x.

Jako uogólnienie z powyższej koncepcji możemy wybrać ∆x na podstawie rozważanego interwału indeksowanego przez i (wybierając szerokość obszaru na podstawie pozycji). Potem dostaniemy

ja= lim_{→x → 0} ∑ⁿ_{i = 1} fa(x_ja) ∆x_ja = _za∫^b fa(x) dx

Jest to znane jako Całka Reimanna funkcji fa(x) w przedziale [a, b]. W tym przypadku aib są znane jako górna granica i dolna granica całki. Całka Reimanna jest podstawową formą wszystkich metod integracji.

Zasadniczo integracja to suma obszaru, gdy szerokość prostokąta jest nieskończenie mała.

Jaka jest różnica między integracją a sumowaniem?

• Sumowanie sumuje ciąg liczb. Zwykle podsumowanie podaje się w tej formie ∑ⁿ_{i = 1} za_ja gdy terminy w sekwencji mają wzór i mogą być wyrażone za pomocą ogólnego terminu.

• Całkowanie jest zasadniczo obszarem ograniczonym przez krzywą funkcji, oś oraz górne i dolne granice. Obszar ten można podać jako sumę znacznie mniejszych obszarów zawartych w obszarze ograniczonym.

• Sumowanie obejmuje wartości dyskretne z górną i dolną granicą, podczas gdy całkowanie obejmuje wartości ciągłe.

• Integracja może być interpretowana jako specjalna forma sumowania.

• W metodach obliczeń numerycznych integracja jest zawsze przeprowadzana jako suma.