Różnica między serią Fouriera a transformatą Fouriera

Seria Fouriera a transformata Fouriera

Szereg Fouriera rozkłada funkcję okresową na sumę sinusów i cosinusów o różnych częstotliwościach i amplitudach. Seria Fouriera jest gałęzią analizy Fouriera i została wprowadzona przez Josepha Fouriera. Transformacja Fouriera jest operacją matematyczną, która przerywa sygnał na jego częstotliwości składowe. Oryginalny sygnał, który zmieniał się w czasie, nazywany jest reprezentacją sygnału w dziedzinie czasu. Transformacja Fouriera nazywana jest reprezentacją sygnału w dziedzinie częstotliwości, ponieważ zależy od częstotliwości. Zarówno reprezentacja w dziedzinie częstotliwości sygnału, jak i proces wykorzystywany do transformacji tego sygnału w domenę częstotliwości są nazywane transformatą Fouriera.

Co to jest seria Fouriera?

Jak wspomniano wcześniej, szereg Fouriera jest rozszerzeniem funkcji okresowej z wykorzystaniem nieskończonej sumy sinusów i cosinusów. Początkowo opracowano szereg Fouriera przy rozwiązywaniu równań ciepła, ale później odkryto, że tę samą technikę można zastosować do rozwiązania dużego zestawu problemów matematycznych, zwłaszcza problemów obejmujących liniowe równania różniczkowe o stałych współczynnikach. Teraz seria Fouriera ma zastosowanie w wielu dziedzinach, w tym w elektrotechnice, analizie wibracji, akustyce, optyce, przetwarzaniu sygnałów, przetwarzaniu obrazu, mechanice kwantowej i ekonometrii. Szeregi Fouriera wykorzystują relacje ortogonalności funkcji sinus i cosinus. Obliczanie i badanie szeregu Fouriera jest znane jako analiza harmoniczna i jest bardzo przydatne podczas pracy z dowolnymi funkcjami okresowymi, ponieważ pozwala rozbić funkcję na proste terminy, które można wykorzystać do uzyskania rozwiązania pierwotnego problemu.

Co to jest transformata Fouriera?

Transformacja Fouriera określa zależność między sygnałem w dziedzinie czasu a jego reprezentacją w dziedzinie częstotliwości. Transformacja Fouriera rozkłada funkcję na funkcje oscylacyjne. Ponieważ jest to transformacja, oryginalny sygnał można uzyskać ze znajomości transformacji, dlatego w procesie nie są tworzone ani tracone żadne informacje. Studium serii Fouriera faktycznie stanowi motywację do transformacji Fouriera. Ze względu na właściwości sinusów i cosinusów możliwe jest odzyskanie ilości każdej fali przyczyniającej się do sumy za pomocą całki. Transformacja Fouriera ma pewne podstawowe właściwości, takie jak liniowość, translacja, modulacja, skalowanie, koniugacja, dualność i splot. Transformacja Fouriera jest stosowana do rozwiązywania równań różniczkowych, ponieważ transformata Fouriera jest ściśle związana z transformacją Laplace'a. Transformacja Fouriera jest również stosowana w jądrowym rezonansie magnetycznym (NMR) i innych rodzajach spektroskopii.

Różnica między serią Fouriera a transformatą Fouriera

Szereg Fouriera jest rozszerzeniem sygnału okresowego jako liniowej kombinacji sinusów i cosinusów, podczas gdy transformata Fouriera jest procesem lub funkcją wykorzystywaną do konwersji sygnałów z dziedziny czasu do dziedziny częstotliwości. Szeregi Fouriera są zdefiniowane dla sygnałów okresowych, a transformata Fouriera może być zastosowana do sygnałów aperiodycznych (występujących bez okresowości). Jak wspomniano powyżej, badanie szeregu Fouriera faktycznie zapewnia motywację do transformacji Fouriera.