Różnica między różnicowaniem a pochodną

Różnicowanie a pochodna
 

W rachunku różniczkowym pochodna i różnicowanie są ze sobą ściśle powiązane, ale bardzo różne i stosowane do przedstawienia dwóch ważnych pojęć matematycznych związanych z funkcjami.

Co to jest pochodna?

Pochodna funkcji mierzy szybkość, z jaką wartość funkcji zmienia się wraz ze zmianą jej danych wejściowych. W funkcjach wielu zmiennych zmiana wartości funkcji zależy od kierunku zmiany wartości zmiennych niezależnych. Dlatego w takich przypadkach wybierany jest określony kierunek, a funkcja jest zróżnicowana w tym konkretnym kierunku. Ta pochodna nazywana jest pochodną kierunkową. Częściowe instrumenty pochodne są szczególnym rodzajem pochodnych kierunkowych.

Pochodna funkcji o wartości wektorowej fa można zdefiniować jako limit wszędzie tam, gdzie istnieje. Jak wspomniano wcześniej, daje nam to tempo wzrostu funkcji fa wzdłuż kierunku wektora u. W przypadku funkcji o pojedynczej wartości sprowadza się to do dobrze znanej definicji pochodnej,  

Na przykład, jest wszędzie zróżnicowalny, a pochodna jest równa limitowi, , co jest równe . Pochodne funkcji takich jak   istnieją wszędzie. Są one odpowiednio równe funkcjom .                                                                                

Jest to znane jako pierwsza pochodna. Zwykle pierwsza pochodna funkcji fa jest oznaczony przez fa ⁽¹⁾. Korzystając z tej notacji, można zdefiniować pochodne wyższego rzędu. jest pochodną kierunkową drugiego rzędu i oznaczającą n^th pochodna przez fa ⁽ⁿ⁾ dla każdego n, ,  definiuje n^th pochodna.

Czym jest różnicowanie?

Różnicowanie to proces znajdowania pochodnej funkcji różniczkowalnej. Operator D oznaczony przez re reprezentuje różnicowanie w niektórych kontekstach. Gdyby x jest więc zmienną niezależną D ≡ ^re/_dx. Operator D jest operatorem liniowym, tj. Dla dowolnych dwóch różnych funkcji fa i sol i stały do, trzymaj następujące właściwości.

ja.  re(fa + g) = re(fa) + D (g)

II.  re(por) = Płyta CD(fa )

Za pomocą operatora D pozostałe reguły związane z różnicowaniem można wyrazić w następujący sposób. re(fa g) = re(fa ) sol +f D.(sol) , re(^fa/_sol) = ^{[re(fa ) sol - f D.(sol)]}/_sol²⁾ i re(fa  o sol) = (re(fa) o sol) D (sol).

Na przykład, gdy F (x) = x²⁾grzech x jest zróżnicowany w odniesieniu do x zgodnie z podanymi zasadami odpowiedź będzie 2xgrzech x -+ x²⁾sałatax.