Różnica między całkami oznaczonymi i nieoznaczonymi

Całki zdefiniowane a nieoznaczone

Rachunek różniczkowy jest ważną gałęzią matematyki, a różnicowanie odgrywa kluczową rolę w rachunku różniczkowym. Odwrotny proces różnicowania jest znany jako całkowanie, a odwrotność jest nazywana całką, lub po prostu, odwrotność różnicowania daje całkę. Na podstawie uzyskanych wyników całki są podzielone na dwie klasy; całki określone i nieokreślone.

Więcej informacji o całkach nieoznaczonych

Całka nieoznaczona jest bardziej ogólną formą całkowania i może być interpretowana jako anty-pochodna rozważanej funkcji. Załóżmy, że różnicowanie F daje f, a całkowanie f daje całkę. Jest często zapisywany jako F (x) = ∫ƒ (x) dx lub F = ∫ƒ dx, gdzie zarówno F, jak i ƒ są funkcjami x, a F jest różniczkowalny. W powyższej formie nazywana jest całką Reimanna, a wynikowa funkcja towarzyszy arbitralnej stałej. Całka nieoznaczona często tworzy rodzinę funkcji; dlatego całka jest nieokreślona.

Całki i proces integracji stanowią sedno rozwiązywania równań różniczkowych. Jednak w odróżnieniu od zróżnicowania integracja nie zawsze przebiega zgodnie z jasną i standardową procedurą; czasami rozwiązanie nie może być wyrażone wprost w kategoriach funkcji elementarnej. W takim przypadku rozwiązanie analityczne jest często podawane w postaci całki nieoznaczonej.

Więcej informacji o całkach oznaczonych

Całki oznaczone są bardzo cenionymi odpowiednikami całek nieoznaczonych, w których proces całkowania faktycznie generuje liczbę skończoną. Można to zdefiniować graficznie jako obszar ograniczony krzywą funkcji ƒ w danym przedziale. Ilekroć integracja jest wykonywana w danym przedziale zmiennej niezależnej, integracja generuje określoną wartość, którą często zapisuje się jako _za∫^bƒ (x) dx lub _za∫^b ƒdx.

Całki nieoznaczone i całki określone są ze sobą powiązane poprzez pierwsze podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego, co pozwala na obliczenie całki określonej za pomocą całek nieoznaczonych. Twierdzenie to stwierdza _za∫^bƒ (x) dx = F (b) -F (a) gdzie zarówno F, jak i ƒ są funkcjami x, a F jest różniczkowalna w przedziale (a, b). Biorąc pod uwagę przedział, a i b są znane jako odpowiednio dolny limit i górny limit.

Zamiast zatrzymywać się tylko na rzeczywistych funkcjach, integracja może zostać rozszerzona na funkcje złożone, a te całki nazywane są całkami konturowymi, gdzie ƒ jest funkcją zmiennej zespolonej.

Jaka jest różnica między całkami zdefiniowanymi a nieokreślonymi?

Całki nieoznaczone reprezentują anty-pochodne funkcji, a często rodzinę funkcji, a nie określone rozwiązanie. W całkach oznaczonych całkowanie daje liczbę skończoną.

Całki nieoznaczone wiążą dowolną zmienną (stąd rodzina funkcji), a całki określone nie mają stałej stałej, ale górną granicę i dolną granicę całki.

Całka nieoznaczona zwykle daje ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.