Różnica między całkami oznaczonymi i nieoznaczonymi
Share
Rachunek różniczkowy jest ważną gałęzią matematyki, a różnicowanie odgrywa kluczową rolę w rachunku różniczkowym. Odwrotny proces różnicowania jest znany jako całkowanie, a odwrotność jest nazywana całką, lub po prostu, odwrotność różnicowania daje całkę. Na podstawie uzyskanych wyników całki dzielą się na dwie klasy, a mianowicie całki określone i nieokreślone.
Określona całka
Zdefiniowana całka z f (x) jest LICZBĄ i reprezentuje obszar pod krzywą f (x) od x = a do x = b.
Całka oznaczona ma górne i dolne granice całek i nazywa się ją definite, ponieważ na końcu problemu mamy liczbę - jest to jednoznaczna odpowiedź.
Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona f (x) jest FUNKCJĄ i odpowiada na pytanie: „Jaką funkcję daje zróżnicowanie f (x)?”
Przy całce nieoznaczonej nie ma tutaj górnych i dolnych granic całki, a otrzymamy odpowiedź, która wciąż ma xjest w nim i będzie miał stałą (zwykle oznaczoną przez do) w tym.
Całka nieoznaczona zwykle daje ogólne rozwiązanie równania różniczkowego.
Całka nieoznaczona jest bardziej ogólną formą całkowania i może być interpretowana jako anty-pochodna rozważanej funkcji.
Załóżmy różnicowanie funkcji fa prowadzi do innej funkcji fa, a całkowanie f daje całkę. Symbolicznie jest to zapisane jako
F (x) = ∫ƒ (x) dx
lub
F = ∫ƒ dx
gdzie oba fa i ƒ są funkcjami x, i fa jest różnicowalny. W powyższej formie nazywana jest całką Reimanna, a wynikowa funkcja towarzyszy arbitralnej stałej.
Całka nieoznaczona często tworzy rodzinę funkcji; dlatego całka jest nieokreślona.
Całki i proces integracji stanowią sedno rozwiązywania równań różniczkowych. Jednak w przeciwieństwie do etapów różnicowania, etapy integracji nie zawsze przebiegają według jasnej i standardowej procedury. Czasami widzimy, że rozwiązania nie można wyrazić wprost w kategoriach funkcji elementarnej. W takim przypadku rozwiązanie analityczne jest często podawane w postaci całki nieoznaczonej.
Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego
Całka oznaczona i nieokreślona są połączone przez Podstawowe Twierdzenie Rachunku w następujący sposób: Aby obliczyć określona całka, znaleźć całka nieoznaczona (znany również jako anty-pochodna) funkcji i oceny w punktach końcowych x = a i x = b.
Różnica między całkami oznaczonymi i nieokreślonymi będzie oczywista, gdy ocenimy całki dla tej samej funkcji.
Rozważ następującą całkę:
DOBRZE. Zróbmy oba i zobaczmy różnicę.
W celu integracji musimy dodać jeden do indeksu, który prowadzi nas do następującego wyrażenia:
W tym momencie do jest dla nas jedynie stałą. W celu ustalenia dokładnej wartości problemu potrzebne są dodatkowe informacje do.
Oceńmy tę samą całkę w jej określonej formie, tj. Z uwzględnieniem górnej i dolnej granicy.
Graficznie obliczamy teraz obszar pod krzywą f (x) = y3) pomiędzy y = 2 i y = 3.
Pierwszy krok w tej ocenie jest taki sam, jak ocena integralna na czas nieokreślony. Jedyną różnicą jest to, że tym razem nie dodajemy stałej do.
Wyrażenie w tym przypadku wygląda następująco:
Ta kolej prowadzi do:
Zasadniczo podstawiliśmy 3, a następnie 2 w wyrażeniu i uzyskaliśmy różnicę między nimi.
Jest to określona wartość w przeciwieństwie do użycia stałej do wcześniej.
Przyjrzyjmy się czynnikowi stałemu (w odniesieniu do całki nieoznaczonej) bardziej szczegółowo.
Jeśli różnica y3) jest 3 lata2), następnie
∫3 lata2)dy = y3)
jednak, 3 lata2) może być różnicą wielu wyrażeń, z których niektóre obejmują y3)-5, y3)+7, itp… Oznacza to, że odwrócenie nie jest unikalne, ponieważ stała nie jest uwzględniana podczas operacji.
Tak ogólnie, 3 lata2) jest różnicą y3)+do gdzie do jest dowolną stałą. Nawiasem mówiąc, C jest znany jako „stała integracji”.
Piszemy to jako:
∫ 3 lata2).dx = y3) + do
Techniki integracji dla nieokreślonej całki, takie jak wyszukiwanie tabeli lub integracja Rischa, mogą dodawać nowe nieciągłości podczas procesu integracji. Te nowe nieciągłości pojawiają się, ponieważ pochodne mogą wymagać wprowadzenia złożonych logarytmów.
Złożone logarytmy mają nieciągłość skoku, gdy argument przecina ujemną oś rzeczywistą, a algorytmy integracji czasami nie mogą znaleźć reprezentacji, w której skoki te anulują.
Jeśli całka oznaczona jest oceniana przez obliczenie najpierw całki nieoznaczonej, a następnie podstawienie granic całkowania do wyniku, musimy mieć świadomość, że całkowanie nieokreślone może powodować nieciągłości. Jeśli tak, dodatkowo musimy zbadać nieciągłości w interwale integracji.
