Różnica między liczbami głównymi a liczbami porządkowymi

Kardynał kontra porządek 
 

W naszym codziennym życiu korzystanie z liczb może przybierać różne formy w różnych sytuacjach. Na przykład, gdy policzymy wielkość zbioru obiektów, liczymy je jako jeden, dwa, trzy itd. Kiedy chcemy policzyć coś, aby uzyskać poczucie położenia obiektów, liczymy je jako pierwsze, drugie, trzecie i tak dalej. W pierwszej formie liczenia mówi się, że liczby są liczbami głównymi. W drugiej formie liczenia liczby są traktowane jako liczby porządkowe. W tym kontekście pojęcia kardynał i porządek są całkowicie kwestią językoznawstwa; kardynał i porządek są przymiotnikami.

Jednak rozszerzenie tej koncepcji na zbiory matematyczne ujawnia znacznie głębszą i szerszą perspektywę i nie można jej traktować w prosty sposób. W tym artykule postaramy się zrozumieć podstawowe pojęcia liczb głównych i porządkowych w matematyce.

Formalne definicje liczb głównych i porządkowych podano w teorii mnogości. Definicje są zawiłe i ich zrozumienie w perfekcyjnym sensie wymaga podstawowej wiedzy z zakresu teorii mnogości. Dlatego zajmiemy się kilkoma przykładami, aby heurystycznie zrozumieć te pojęcia.

Rozważ dwa zestawy 1,3,6,4,5,2 i autobus, samochód, prom, pociąg, samolot, helikopter. Każdy zestaw zawiera zestaw elementów, a jeśli policzymy liczbę elementów, oczywiste jest, że każdy ma tę samą liczbę elementów, czyli 6. Do tego wniosku przyjęliśmy rozmiar jednego zestawu i porównaliśmy go z innym za pomocą numer. Taki numer nazywany jest liczbą kardynalną. Dlatego możemy powiedzieć, że liczba kardynalna to liczba, której możemy użyć do porównania wielkości zbiorów skończonych.

Ponownie pierwszy zestaw liczb można ułożyć w porządku rosnącym, biorąc pod uwagę rozmiar każdego elementu i porównując je. W procesie zamawiania liczby są uznawane za kardynałów. Podobnie, zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych można uporządkować w zestawie; tj. 0,1,2,3,4,… Ale w tym przypadku rozmiar zbioru staje się nieskończony, a podawanie go w porządku porządkowym nie jest możliwe. Bez względu na to, jak dużą liczbę wybierzesz, aby podać rozmiar zestawu, nadal pozostaną liczby z wybranego zestawu i które są nieujemnymi liczbami całkowitymi.

Dlatego matematycy definiują tego nieskończonego kardynała (który jest pierwszy) jako Aleph-0, zapisany jako א (pierwsza litera alfabetu hebrajskiego). Formalnie liczba porządkowa jest rodzajem porządku dobrze uporządkowanego zestawu. Dlatego liczba porządkowa zbiorów skończonych może być podana przez liczby kardynalne, ale dla zbiorów nieskończonych liczba porządkowa jest podana przez liczby transfinite, takie jak Aleph-0.

Jaka jest różnica między liczbami głównymi i porządkowymi?

• Liczba kardynalna to liczba, której można użyć do zliczenia lub do nadania rozmiaru skończonego uporządkowanego zestawu. Wszystkie liczby główne są liczbami porządkowymi.

• Liczby porządkowe są liczbami używanymi do określenia wielkości zarówno uporządkowanych zbiorów skończonych, jak i nieskończonych. Rozmiar skończonych uporządkowanych zbiorów jest podawany przez zwykłe hindusko-arabskie liczby algebraiczne, a nieskończony rozmiar zestawu jest podawany przez liczby transfinite.