Różnica między szeregami arytmetycznymi i geometrycznymi
Share
Szeregi arytmetyczne a geometryczne
Matematyczna definicja szeregu jest ściśle związana z sekwencjami. Sekwencja jest uporządkowanym zbiorem liczb i może być zbiorem skończonym lub nieskończonym. Ciąg liczb z różnicą między dwoma elementami będącymi stałymi jest znany jako postęp arytmetyczny. Sekwencja ze stałym ilorazem dwóch kolejnych liczb jest znana jako postęp geometryczny. Postępy te mogą być skończone lub nieskończone, a jeśli skończone, liczba terminów jest policzalna, w przeciwnym razie niepoliczalna.
Zasadniczo sumę elementów w progresji można zdefiniować jako szereg. Suma postępu arytmetycznego jest znana jako szereg arytmetyczny. Podobnie suma postępu geometrycznego jest znana jako szereg geometryczny.
Więcej informacji o szeregach arytmetycznych
W szeregu arytmetycznym kolejne terminy mają stałą różnicę.
S.n = a1 + za2) + za3) + za4 +⋯ + an = ∑ni = 1 zaja ; gdzie2) = a1 + d, a3) = a2) + d i tak dalej.
Ta różnica d jest znana jako wspólna różnica, a nth termin jest podany przezn = a1+ (n-1) d; gdzie1 jest pierwszym terminem.
Zachowanie serii zmienia się w oparciu o wspólną różnicę d. Jeśli wspólna różnica jest dodatnia, postęp ma tendencję do dodatniej nieskończoności, a jeśli wspólna różnica jest ujemna, dąży do ujemnej nieskończoności.
Sumę serii można uzyskać według następującej prostej formuły, która została po raz pierwszy opracowana przez indyjskiego astronoma i matematyka Aryabhata.
S.n = n / 2 (a1+ zan ) = n / 2 [2a1 + (n-1) d]
Suma Sn może być skończony lub nieskończony, w zależności od liczby terminów.
Więcej informacji o seriach geometrycznych
Szereg geometryczny to szereg z ilorazem stałych liczb kolejnych. Jest to ważna seria znaleziona w badaniu serii, ze względu na jej właściwości.
S.n = ar + ar2) + ar3) +⋯ + arn = ∑ni = 1 arja
Na podstawie stosunku r zachowanie serii można podzielić na następujące kategorie. r = | r | ≥1 rozbieżne szeregi; seria r≤1 zbiega się. Ponadto, jeśli r<0 the series oscillates, i.e. the series has alternating values.
Suma szeregów geometrycznych można obliczyć za pomocą następującego wzoru. S.n = a (1-rn) / (1-r); gdzie a jest początkowym składnikiem, a r jest stosunkiem. Jeżeli stosunek r≤1, szereg jest zbieżny. W przypadku szeregu nieskończonego wartość zbieżności jest podana przez S.n= a / (1-r).
Szeregi geometryczne mają wiele zastosowań w dziedzinie nauk fizycznych, inżynierii i ekonomii
Jaka jest różnica między seriami arytmetycznymi i geometrycznymi?
• Szereg arytmetyczny to szereg ze stałą różnicą między dwoma sąsiednimi członami.
• Szereg geometryczny to szereg ze stałym ilorazem między dwoma kolejnymi członami.
• Wszystkie nieskończone szeregi arytmetyczne są zawsze rozbieżne, ale w zależności od proporcji szeregi geometryczne mogą być zbieżne lub rozbieżne.
• Szeregi geometryczne mogą mieć oscylacje w wartościach; to znaczy liczby zmieniają swoje znaki na przemian, ale szereg arytmetyczny nie może mieć oscylacji.
