Różnica między funkcją rozkładu prawdopodobieństwa a funkcją gęstości prawdopodobieństwa

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa a funkcja gęstości prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo to prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia. Ten pomysł jest bardzo powszechny i ​​często wykorzystywany w codziennym życiu, gdy oceniamy nasze możliwości, transakcje i wiele innych rzeczy. Rozszerzenie tej prostej koncepcji na większy zestaw wydarzeń jest nieco trudniejsze. Na przykład nie możemy łatwo ustalić szansy na wygraną w loterii, ale wygodnie jest raczej intuicyjnie powiedzieć, że istnieje prawdopodobieństwo, że jeden na sześć osób dostanie szóstkę w rzucie kostką.

Gdy liczba zdarzeń, które mogą mieć miejsce, staje się coraz większa lub liczba indywidualnych możliwości jest duża, ta raczej prosta koncepcja prawdopodobieństwa zawiedzie. Dlatego przed podejściem do problemów o większej złożoności należy podać solidną matematyczną definicję.

Gdy liczba zdarzeń, które mogą mieć miejsce w jednej sytuacji, jest duża, nie można rozpatrywać każdego zdarzenia osobno, jak na przykładzie rzutu kostką. Stąd cały zestaw zdarzeń jest podsumowany przez wprowadzenie koncepcji zmiennej losowej. Jest to zmienna, która może przyjmować wartości różnych zdarzeń w tej konkretnej sytuacji (lub przestrzeni próbki). Daje matematyczny sens prostym zdarzeniom w danej sytuacji i matematyczny sposób reagowania na zdarzenie. Dokładniej, zmienna losowa jest funkcją wartości rzeczywistej nad elementami przestrzeni próbki. Zmienne losowe mogą być dyskretne lub ciągłe. Zazwyczaj są one oznaczone dużymi literami alfabetu angielskiego.

Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa (lub po prostu rozkład prawdopodobieństwa) to funkcja, która przypisuje wartości prawdopodobieństwa dla każdego zdarzenia; tzn. zapewnia związek z prawdopodobieństwami wartości, które może przyjąć zmienna losowa. Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa jest zdefiniowana dla dyskretnych zmiennych losowych.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa jest równoważna funkcji rozkładu prawdopodobieństwa ciągłych zmiennych losowych, daje prawdopodobieństwo, że pewna zmienna losowa przyjmie określoną wartość.

Gdyby X jest dyskretną zmienną losową, funkcja podana jako fa(x) = P.(X = x) dla każdego x w zakresie X nazywa się funkcją rozkładu prawdopodobieństwa. Funkcja może służyć jako funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja spełnia następujące warunki.

1. fa(x) ≥ 0

2. ∑ fa(x) = 1

Funkcja fa(x), który jest zdefiniowany na zbiorze liczb rzeczywistych, nazywa się funkcją gęstości prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej X, wtedy i tylko wtedy gdy,

P.(za ≤ x ≤ b) = _za∫^b fa(x) dx dla prawdziwych stałych za i b.

Funkcja gęstości prawdopodobieństwa powinna również spełniać następujące warunki.

1. fa(x) ≥ 0 dla wszystkich x: -∞ < x < +∞

2). _-∞∫^+∞ fa(x) dx = 1

Zarówno funkcja rozkładu prawdopodobieństwa, jak i funkcja gęstości prawdopodobieństwa służą do przedstawienia rozkładu prawdopodobieństwa w przestrzeni próbki. Zwykle są to tak zwane rozkłady prawdopodobieństwa.

Do modelowania statystycznego wyprowadzane są standardowe funkcje gęstości prawdopodobieństwa i funkcje rozkładu prawdopodobieństwa. Rozkład normalny i standardowy rozkład normalny są przykładami ciągłych rozkładów prawdopodobieństwa. Rozkład dwumianowy i rozkład Poissona są przykładami dyskretnych rozkładów prawdopodobieństwa.

Jaka jest różnica między rozkładem prawdopodobieństwa a funkcją gęstości prawdopodobieństwa?

• Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa i funkcja gęstości prawdopodobieństwa to funkcje zdefiniowane w przestrzeni próbki, aby przypisać odpowiednią wartość prawdopodobieństwa do każdego elementu.

• Funkcje rozkładu prawdopodobieństwa są zdefiniowane dla dyskretnych zmiennych losowych, natomiast funkcje gęstości prawdopodobieństwa są zdefiniowane dla ciągłych zmiennych losowych.

• Rozkład wartości prawdopodobieństwa (tj. Rozkład prawdopodobieństwa) najlepiej obrazuje funkcja gęstości prawdopodobieństwa i funkcja rozkładu prawdopodobieństwa.

• Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa może być reprezentowana jako wartości w tabeli, ale nie jest to możliwe dla funkcji gęstości prawdopodobieństwa, ponieważ zmienna jest ciągła.

• Po wykreśleniu funkcja rozkładu prawdopodobieństwa daje wykres słupkowy, a funkcja gęstości prawdopodobieństwa daje krzywą.

• Wysokość / długość słupków funkcji rozkładu prawdopodobieństwa musi wzrosnąć do 1, podczas gdy pole pod krzywą funkcji gęstości prawdopodobieństwa musi wzrosnąć do 1.

• W obu przypadkach wszystkie wartości funkcji muszą być nieujemne.