Różnica między serią mocy a serią Taylora

Seria Power vs Taylor Series

W matematyce prawdziwa sekwencja to uporządkowana lista liczb rzeczywistych. Formalnie jest to funkcja od zbioru liczb naturalnych do zbioru liczb rzeczywistych. Gdyby za_njest n^th termin sekwencji oznacza sekwencję przez lub przez za₁, za₂₎,…, A_n,… .Na przykład rozważmy sekwencję 1, ½, ⅓,… , ¹/_n,… Można go oznaczyć jako 1 / n.

Możliwe jest zdefiniowanie serii za pomocą sekwencji. Seria jest sumą terminów sekwencji. Dlatego dla każdej sekwencji istnieje powiązana sekwencja i na odwrót. Jeśli_n jest rozważaną sekwencją, wówczas szereg utworzony przez tę sekwencję można przedstawić jako:                                           

 Zatem w powyższym przykładzie skojarzona seria to 1+¹/₂₎+¹/₃₎+…  + ¹/_n +… . 

Jak sugerują nazwy, szereg mocy jest specjalnym typem szeregu i jest szeroko stosowany w analizie numerycznej i pokrewnym modelowaniu matematycznym. Seria Taylor to specjalna seria mocy, która zapewnia alternatywny i łatwy w obsłudze sposób reprezentowania dobrze znanych funkcji.

Co to jest seria Power?

Szereg mocy jest serią formy

    

który jest zbieżny (być może) dla pewnego przedziału, którego środkiem jest do. Współczynniki za_n mogą być liczbami rzeczywistymi lub zespolonymi i są niezależne od x; to znaczy. zmienna fikcyjna.

Na przykład przez ustawienie za_n= 1 dla każdego n, i do = 0, seria mocy 1 + x + x²⁾+… + Xⁿ+… Uzyskano. Łatwo zauważyć, że gdy x ε (-1,1), ta seria mocy zbiega się do 1 / (1-x).          

Szereg mocy zbiega się, kiedy x = do. Inne wartości x dla których szereg mocy zbiega się zawsze przybierze formę otwartego przedziału, którego środkiem jest do. To jest, pojawi się wartość 0 ≤ R ≤ ∞ takie, że dla każdego x spełniające | x-c | ≤R, seria mocy jest zbieżna i dla każdego x  spełniające | x-c |>R, seria mocy jest rozbieżna. Ta wartość R nazywa się promieniem zbieżności szeregu mocy (R może przyjąć dowolną rzeczywistą wartość lub dodatnią nieskończoność).

Szeregi mocy można dodawać, odejmować, mnożyć i dzielić zgodnie z następującymi zasadami. Rozważ dwie serie mocy:       

   

                               .

Następnie,                 

to znaczy. podobne terminy są dodawane lub odejmowane razem. Możliwe jest również pomnożenie i podzielenie dwóch szeregów mocy przy użyciu tożsamości,

Co to jest seria Taylor?

Seria Taylora jest zdefiniowana dla funkcji fa(x), który jest nieskończenie zróżnicowany w odstępach czasu. Założyć fa(x) można rozróżnić w przedziale wyśrodkowanym na do. Następnie szereg mocy, który podaje

                                                                                                                                

nazywa się rozszerzeniem funkcji Taylora fa(x) o do. (Tutaj fa⁽ⁿ⁾(do) Oznacza n^th pochodna w x = do). W analizie numerycznej do obliczania wartości w punktach, w których szereg jest zbieżny z pierwotną funkcją, używana jest skończona liczba terminów w tym nieskończonym rozszerzeniu..

Funkcja fa(x) uważa się za analityczny w przedziale (a, b), jeśli dla każdego x ε (a, b), szereg Taylora z fa(x) jest zbieżny z funkcją fa(x). Na przykład 1 / (1-x) działa analitycznie na (-1,1), ponieważ jego ekspansja Taylora 1 + x + x²⁾+… + Xⁿ+… Zbiega się z funkcją w tym przedziale, i mi^x  jest analityczny wszędzie, od serii Taylora mi^xzbiega się do mi^x dla każdej liczby rzeczywistej x.

Jaka jest różnica między serią Power a serią Taylor?

1. Szeregi Taylora to specjalna klasa szeregów mocy zdefiniowana tylko dla funkcji, które są nieskończenie zróżnicowane w pewnych otwartych odstępach czasu.

2. Seria Taylor przybiera specjalną formę

        

podczas gdy szereg mocy może być dowolną serią postaci