Różnica między ortogonalnym a ortonormalnym

Ortogonalny vs Ortogonalny

W matematyce często używane są dwa słowa ortogonalny i ortonormalny wraz z zestawem wektorów. Tutaj termin „wektor” jest używany w tym sensie, że jest on elementem przestrzeni wektorowej - struktury algebraicznej stosowanej w algebrze liniowej. W naszej dyskusji rozważymy przestrzeń produktu wewnętrznego - przestrzeń wektorową V. wraz z produktem wewnętrznym [] zdefiniowane na V..

Na przykład, dla iloczynu wewnętrznego, przestrzenią jest zbiór wszystkich trójwymiarowych wektorów położenia wraz ze zwykłym iloczynem kropkowym.

Co jest ortogonalne?

Niepusty podzbiór S. wewnętrznej przestrzeni produktu V. mówi się, że jest ortogonalny, jeśli i tylko jeśli dla każdego odrębny u, v w S., [u, v] = 0; tj. wewnętrzny produkt u i v jest równy zerowemu skalarowi w wewnętrznej przestrzeni produktu.

Na przykład w zbiorze wszystkich trójwymiarowych wektorów pozycji jest to równoważne z twierdzeniem, że dla każdej odrębnej pary wektorów pozycji p i q w S., p i q są do siebie prostopadłe. (Pamiętaj, że iloczyn wewnętrzny w tej przestrzeni wektorowej jest iloczynem kropkowym. Iloczyn iloczynu dwóch wektorów jest równy 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dwa wektory są do siebie prostopadłe.)

Rozważ zestaw S. = (0,2,0), (4,0,0), (0,0,5), który jest podzbiorem trójwymiarowych wektorów pozycji. Zauważ, że (0,2,0). (4,0,0) = 0, (4,0,0).(0,0,5) = 0 i (0,2,0).(0,0,5) = 0. Stąd zbiór S. jest ortogonalny. W szczególności mówi się, że dwa wektory są ortogonalne, jeśli ich iloczyn wewnętrzny wynosi 0. Dlatego każda para wektorów w S.jest ortogonalny.

Co to jest ortonormalny?

Niepusty podzbiór S. wewnętrznej przestrzeni produktu V. mówi się, że jest ortonormalny wtedy i tylko wtedy, gdy S. jest ortogonalny i dla każdego wektora u w S., [u, u] = 1. Dlatego można zauważyć, że każdy zbiór ortonormalny jest ortogonalny, ale nie odwrotnie.

Na przykład w zbiorze wszystkich trójwymiarowych wektorów pozycji jest to równoważne z twierdzeniem, że dla każdej odrębnej pary wektorów pozycji p i q w S., p i q są do siebie prostopadłe i dla każdego p w S., | p | = 1. Jest tak, ponieważ warunek [p, p] = 1 zmniejsza się do p.p = | p || p |cos0 = | p |²⁾= 1, co odpowiada | p | = 1. Dlatego, biorąc pod uwagę zbiór ortogonalny, zawsze możemy utworzyć odpowiedni zbiór ortonormalny, dzieląc każdy wektor przez jego wielkość.

T. = (0,1,0), (1,0,0), (0,0,1) jest podzbiorem ortonormalnym zbioru wszystkich trójwymiarowych wektorów pozycji. Łatwo zauważyć, że uzyskano go przez podzielenie każdego z wektorów w zbiorze S., według ich wielkości.

Jaka jest różnica między ortogonalnym a ortonormalnym?

• Niepusty podzbiór S. wewnętrznej przestrzeni produktu V. mówi się, że jest ortogonalny, jeśli i tylko jeśli dla każdego odrębnego u, v w S., [u, v] = 0. Jest jednak ortonormalny, wtedy i tylko wtedy, gdy jest to dodatkowy warunek - dla każdego wektora u w S., [u, u] = 1 jest zadowolony.
• Każdy zestaw ortonormalny jest ortogonalny, ale nie odwrotnie.
• Dowolny zestaw ortogonalny odpowiada unikalnemu zestawowi ortonormalnemu, ale zestaw ortonormalny może odpowiadać wielu zestawom ortogonalnym.