Różnica między liniowymi i nieliniowymi równaniami różniczkowymi

Liniowe a nieliniowe równania różniczkowe
 

Równanie zawierające co najmniej jeden współczynnik różnicowy lub pochodną nieznanej zmiennej jest znane jako równanie różniczkowe. Równanie różniczkowe może być liniowe lub nieliniowe. Celem tego artykułu jest wyjaśnienie, czym jest liniowe równanie różniczkowe, co jest nieliniowe równanie różniczkowe i jaka jest różnica między liniowymi i nieliniowymi równaniami różniczkowymi.

Od czasu opracowania rachunku różniczkowego w XVIII wieku przez matematyków, takich jak Newton i Leibnitz, równanie różniczkowe odgrywa ważną rolę w historii matematyki. Równania różniczkowe mają duże znaczenie w matematyce ze względu na ich zakres zastosowań. Równania różniczkowe są podstawą każdego modelu, który opracowujemy, aby wyjaśnić każdy scenariusz lub wydarzenie na świecie, niezależnie od tego, czy dotyczy to fizyki, inżynierii, chemii, statystyki, analizy finansowej czy biologii (lista jest nieskończona). W rzeczywistości, dopóki rachunek różniczkowy nie stał się ustaloną teorią, odpowiednie narzędzia matematyczne były niedostępne do analizy interesujących problemów natury.

Wynikowe równania z określonego zastosowania rachunku różniczkowego mogą być bardzo złożone, a czasem nierozwiązywalne. Są jednak takie, które możemy rozwiązać, ale mogą wyglądać podobnie i dezorientować. Dlatego w celu łatwiejszej identyfikacji równania różniczkowe są podzielone na kategorie według ich matematycznego zachowania. Jedną z takich kategoryzacji jest liniowa i nieliniowa. Ważne jest, aby zidentyfikować różnicę między liniowymi i nieliniowymi równaniami różniczkowymi.

Co to jest liniowe równanie różniczkowe?

Przypuszczam, że f: X → Y i f (x) = y, a równanie różniczkowe bez nieliniowych składników nieznanej funkcji y a jego pochodne są znane jako liniowe równanie różniczkowe.

Nakłada warunek, że y nie może mieć wyższych terminów indeksu, takich jak y²⁾, y³⁾,… I wielokrotności instrumentów pochodnych, takich jak 

Nie może również zawierać terminów nieliniowych, takich jak Sin y, mi^{y^ -2}, lub ln y. Przybiera formę, 

gdzie y i sol są funkcjami x. Równanie jest równaniem różniczkowym rzędu n, który jest indeksem pochodnego najwyższego rzędu.

W liniowym równaniu różniczkowym operator różniczkowy jest operatorem liniowym, a rozwiązania tworzą przestrzeń wektorową. Z uwagi na liniowy charakter zestawu rozwiązań liniowa kombinacja rozwiązań jest również rozwiązaniem równania różniczkowego. To znaczy, jeśli y₁ i y₂₎ są zatem rozwiązaniami równania różniczkowego do₁ y₁+ do₂₎ y₂₎ jest również rozwiązaniem.

Liniowość równania jest tylko jednym parametrem klasyfikacji i można go dalej podzielić na równania różniczkowe jednorodne lub niejednorodne oraz zwykłe lub częściowe. Jeśli funkcja jest sol= 0 to równanie jest liniowym równaniem różniczkowym jednorodnym. Gdyby fa jest funkcją dwóch lub więcej zmiennych niezależnych (f: X, T → Y) i f (x, t) = y , równanie jest liniowym równaniem różniczkowym cząstkowym.

Metoda rozwiązania równania różniczkowego zależy od rodzaju i współczynników równania różniczkowego. Najłatwiejszy przypadek powstaje, gdy współczynniki są stałe. Klasycznym przykładem tego przypadku jest drugie prawo ruchu Newtona i jego różne zastosowania. Drugie prawo Newtona wytwarza liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach.

Co to jest nieliniowe równanie różniczkowe?

Równania zawierające terminy nieliniowe są znane jako nieliniowe równania różniczkowe.

 

Wszystkie powyższe są nieliniowymi równaniami różniczkowymi. Nieliniowe równania różniczkowe są trudne do rozwiązania, dlatego konieczne jest dokładne badanie w celu uzyskania poprawnego rozwiązania. W przypadku równań różniczkowych cząstkowych większość równań nie ma ogólnego rozwiązania. Dlatego każde równanie musi być traktowane niezależnie.

Równanie Naviera-Stokesa i równanie Eulera w dynamice płynów, równania ogólnej teorii względności Einsteina są dobrze znanymi nieliniowymi równaniami różniczkowymi cząstkowymi. Czasami zastosowanie równania Lagrange'a do układu zmiennego może skutkować układem nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych.

Jaka jest różnica między liniowymi i nieliniowymi równaniami różniczkowymi?

• Równanie różniczkowe, które ma tylko warunki liniowe nieznanej lub zależnej zmiennej i jej pochodnych, jest znane jako liniowe równanie różniczkowe. Nie ma terminu z zależną zmienną indeksu wyższą niż 1 i nie zawiera żadnej wielokrotności jego pochodnych. Nie może mieć funkcji nieliniowych, takich jak funkcje trygonometryczne, funkcja wykładnicza i funkcje logarytmiczne w odniesieniu do zmiennej zależnej. Każde równanie różniczkowe zawierające wyżej wymienione terminy jest nieliniowym równaniem różniczkowym.

• Rozwiązania liniowych równań różniczkowych tworzą przestrzeń wektorową, a operator różniczkowy jest również operatorem liniowym w przestrzeni wektorowej.

• Rozwiązania liniowych równań różniczkowych są stosunkowo łatwiejsze i istnieją rozwiązania ogólne. W przypadku równań nieliniowych w większości przypadków ogólne rozwiązanie nie istnieje, a rozwiązanie może być specyficzne dla problemu. To sprawia, że ​​rozwiązanie jest znacznie trudniejsze niż równania liniowe.