Różnica między funkcją dyskretną a funkcją ciągłą

Funkcja dyskretna a funkcja ciągła

Funkcje są jedną z najważniejszych klas obiektów matematycznych, które są szeroko stosowane w prawie wszystkich podobszarach matematyki. Ich nazwy sugerują, że zarówno funkcje dyskretne, jak i funkcje ciągłe są dwoma specjalnymi typami funkcji.

Funkcja jest relacją między dwoma zestawami zdefiniowanymi w taki sposób, że dla każdego elementu w pierwszym zestawie wartość, która odpowiada mu w drugim zestawie, jest unikalna. Pozwolić fa być funkcją zdefiniowaną z zestawu ZA w zestawie b. Następnie dla każdego xϵ A, symbol fa(x) oznacza unikalną wartość w zestawie b co odpowiada x. Nazywa się to obrazem x poniżej fa. Dlatego relacja fa z A na B jest funkcją, jeśli i tylko jeśli, dla każdego xϵ A i y ϵ A; gdyby x = y następnie fa(x) = f(y). Zestaw A nazywany jest domeną funkcji fa, i jest to zestaw, w którym funkcja jest zdefiniowana.

Rozważmy na przykład relację fa z R na R zdefiniowane przez fa(x) = x + 2 dla każdego xϵ A. Jest to funkcja, której domeną jest R, jak dla każdej liczby rzeczywistej xiy, implikuje x = y fa(x) = x + 2 = y + 2 = fa(y). Ale relacja sol z N na N zdefiniowane przez sol(x) = a, gdzie „a” jest liczbą pierwszą x nie jest funkcją jak sol(6) = 3, a także sol(6) = 2.

Co to jest funkcja dyskretna?

Funkcja dyskretna to funkcja, której domena jest co najwyżej policzalna. Po prostu oznacza to, że możliwe jest utworzenie listy zawierającej wszystkie elementy domeny.

Każdy zestaw skończony jest co najwyżej policzalny. Zbiór liczb naturalnych i zbiór liczb wymiernych są przykładami co najwyżej policzalnych zbiorów nieskończonych. Zbiór liczb rzeczywistych i zbiór liczb niewymiernych nie są co najwyżej policzalne. Oba zestawy są niepoliczalne. Oznacza to, że niemożliwe jest utworzenie listy zawierającej wszystkie elementy tych zbiorów.

Jedną z najczęstszych funkcji dyskretnych jest funkcja silnia. fa : N U 0 → N rekurencyjnie zdefiniowane przez fa(n) = nfa(n-1) dla każdego n ≥ 1 i fa(0) = 1 nazywa się funkcją silnią. Zauważ, że jego domena N U 0 jest co najwyżej policzalna.

Co to jest funkcja ciągła?

Pozwolić fa być funkcją taką, że dla każdego k w domenie fa, fa(x) →fa(k) jako x → k. Następnie fajest funkcją ciągłą. Oznacza to, że można to zrobić fa(x) dowolnie blisko fa(k) przez uczynienie x wystarczająco zbliżonym do k dla każdego k w domenie fa.

Rozważ funkcję fa(x) = x + 2 na R. Można zauważyć, że jako x → k, x + 2 → k + 2 to znaczy fa(x) →fa(k). W związku z tym, fa jest funkcją ciągłą. Teraz zastanów się sol na dodatnich liczbach rzeczywistych sol(x) = 1, jeśli x> 0 i sol(x) = 0, jeśli x = 0. Zatem ta funkcja nie jest funkcją ciągłą jako granica sol(x) nie istnieje (a zatem nie jest równy sol(0)) jako x → 0.