Różnica między współrzędnymi kartezjańskimi i współrzędnymi biegunowymi

Współrzędne kartezjańskie a współrzędne biegunowe
 

W geometrii układ współrzędnych to układ odniesienia, w którym liczby (lub współrzędne) są używane do jednoznacznego określenia położenia punktu lub innego elementu geometrycznego w przestrzeni. Układy współrzędnych umożliwiają przekształcenie problemów geometrycznych w problem numeryczny, który stanowi podstawę geometrii analitycznej.

Kartezjański układ współrzędnych i biegunowe układy współrzędnych są dwoma powszechnymi układami współrzędnych stosowanymi w matematyce.

Współrzędne kartezjańskie

Kartezjański układ współrzędnych wykorzystuje rzeczywistą linię liczbową jako odniesienie. W jednym wymiarze linia liczbowa rozciąga się od ujemnej nieskończoności do dodatniej nieskończoności. Biorąc pod uwagę punkt 0 jako początek, można zmierzyć długość każdego punktu. Zapewnia to unikalny sposób identyfikacji pozycji na linii za pomocą jednego numeru.

Pomysł można rozszerzyć na dwa i trzy wymiary, w których stosowane są linie liczbowe prostopadłe do siebie. Wszystkie mają ten sam punkt 0 co początek. Linie liczbowe są określane jako osie i często nazywane osią X, osią Y i osią Z. Odległość do punktu wzdłuż każdej osi, zaczynająca się od (0, 0, 0), która jest również znana jako początek, i podana jako krotka, jest znana jako współrzędna punktu. Ogólny punkt w tej przestrzeni może być reprezentowany przez współrzędną (x, y, z). W układzie płaskim, w którym są tylko dwie osie, współrzędne są podane jako (x, y). Płaszczyzna utworzona przez osie jest znana jako płaszczyzna kartezjańska i często określana jest literami osi. Na przykład. Samolot XY.

Ten ogólny punkt można wykorzystać do opisania różnych elementów geometrycznych poprzez ograniczenie ogólnego punktu do zachowania się w określony sposób. Na przykład równanie x ^ 2 + y ^ 2 = a ^ 2 reprezentuje okrąg. Zamiast rysować okrąg o promieniu można zaznaczyć okrąg w bardziej abstrakcyjny sposób pokazany powyżej.

Współrzędne biegunowe

Współrzędne biegunowe używają układu odniesienia różnicy do oznaczenia punktu. Układ współrzędnych biegunowych używa kąta przeciwnego do ruchu wskazówek zegara od dodatniego kierunku osi x i odległości linii prostej do punktu jako współrzędnych. 

 

Współrzędne biegunowe można przedstawić jak wyżej w dwuwymiarowym układzie współrzędnych kartezjańskich.

Transformacja między systemami polarnymi i kartezjańskimi wynika z następujących zależności:

r = √ (x²⁾ + y²⁾) ↔ x x r cosθ, y = r sinθ

θ = tan^-1 (x / y)

Jaka jest różnica między współrzędnymi kartezjańskimi i biegunowymi?

• Współrzędne kartezjańskie wykorzystują linie osi jako osie i mogą być używane w jednym, dwóch lub trzech wymiarach. Dlatego ma zdolność do reprezentowania geometrii liniowych, płaskich i bryłowych.

• Współrzędne biegunowe używają kąta i długości jako współrzędnych i mogą reprezentować tylko geometrie liniowe i płaskie, chociaż można je przekształcić w układ współrzędnych cylindrycznych, aby reprezentować geometrie brył.

• Oba systemy są używane do reprezentowania liczb urojonych poprzez określenie osi urojonej i odgrywają istotną rolę w złożonej algebrze. Chociaż w postaci prostej współrzędne kartezjańskie są liczbami rzeczywistymi (x, y, z), współrzędne w układzie biegunowym nie zawsze są liczbami rzeczywistymi; tzn. jeśli kąt podano w stopniach, współrzędne nie są rzeczywiste; jeśli kąt jest podany w radianach, współrzędne są liczbami rzeczywistymi.