Różnica między Bernoullim a dwumianem

Bernoulli vs Binomial

Bardzo często w prawdziwym życiu spotykamy wydarzenia, które mają tylko dwa ważne wyniki. Na przykład albo zdajemy rozmowę kwalifikacyjną, z którą się spotkaliśmy, albo nie zdajemy tego, albo nasz lot odlatuje na czas, albo jest opóźniony. We wszystkich tych sytuacjach możemy zastosować koncepcję prawdopodobieństwa ”Próby Bernoulliego ”.

Bernoulli

Losowy eksperyment z tylko dwoma możliwymi wynikami z prawdopodobieństwem p i q; gdzie p + q = 1, jest wywoływane Próby Bernoulliego na cześć Jamesa Bernoulli (1654-1705). Najczęściej dwa wyniki eksperymentu to „sukces” lub „porażka”.

Na przykład, jeśli weźmiemy pod uwagę rzucanie monetą, istnieją dwa możliwe wyniki, o których mówi się, że to „głowa” lub „ogon”. Jeśli interesuje nas głowa do upadku; prawdopodobieństwo sukcesu wynosi 1/2, co można określić jako P (sukces) = 1/2, a prawdopodobieństwo niepowodzenia wynosi 1/2. Podobnie, gdy rzucamy dwiema kośćmi, jeśli interesuje nas tylko suma dwóch kości do 8, P (sukces) = 5/36 i P (niepowodzenie) = 1- 5/36 = 31/36.

Proces Bernoulliego to występowanie sekwencji prób Bernoulliego niezależnie; dlatego prawdopodobieństwo sukcesu pozostaje takie samo dla każdej próby. Dodatkowo, dla każdej próby prawdopodobieństwo niepowodzenia wynosi 1-P (sukces).

Ponieważ poszczególne ścieżki są niezależne, prawdopodobieństwo zdarzenia w procesie Bernoulliego można obliczyć, biorąc iloczyn prawdopodobieństwa sukcesu i porażki. Na przykład, jeśli prawdopodobieństwo sukcesu [P (S)] jest oznaczone przez p, a prawdopodobieństwo niepowodzenia [P (F)] jest oznaczone przez q; następnie P (SSSF) = p³⁾q i P (FFSS) = p²⁾q²⁾.

Dwumianowy

Próby Bernoulliego prowadzą do rozkładu dwumianowego. W większości przypadków ludzie mylą się z dwoma terminami „Bernoulli” i „Binomial”.  Rozkład dwumianowy jest sumą niezależnych i równomiernie rozłożonych prób Bernoulliego. Rozkład dwumianowy oznacza notacja b (k; n, p); b (k; n, p) = C (n, k) p^kq^n-k, gdzie C (n, k) jest znane jako współczynnik dwumianowy. Współczynnik dwumianowy C (n, k) można obliczyć za pomocą wzoru n! / K! (N-k)!.

Na przykład, jeśli loteria natychmiastowa z 25% zwycięskimi losami jest sprzedawana wśród 10 osób, prawdopodobieństwo zakupu zwycięskiego losu wynosi b (1; 10,025) = C (10,1) (0,25) (0,75)⁹ ≈ 9 x 0,25 x 0,075 ≈ 0,169