Różnica między sekwencją arytmetyczną a sekwencją geometryczną
Share
Sekwencja arytmetyczna a sekwencja geometryczna
Badanie wzorów liczb i ich zachowania jest ważnym badaniem w dziedzinie matematyki. Często te wzory można zobaczyć w naturze i pomaga nam wyjaśnić ich zachowanie z naukowego punktu widzenia. Sekwencje arytmetyczne i geometryczne to dwa podstawowe wzorce występujące w liczbach i często spotykane w zjawiskach naturalnych.
Sekwencja jest zbiorem uporządkowanych liczb. Liczba elementów w sekwencji może być skończona lub nieskończona.
Więcej informacji o sekwencji arytmetycznej (postęp arytmetyczny)
Sekwencję arytmetyczną definiuje się jako ciąg liczb ze stałą różnicą między każdym kolejnym terminem. Jest również znany jako postęp arytmetyczny.
Sekwencja arytmetyczna ⇒ a1, za2), za3), za4,…, An ; gdzie2) = a1 + d, a3) = a2) + d i tak dalej.
Jeśli początkowy termin to1 a wspólną różnicą jest d, to nth termin sekwencji jest podany przez;
zan = a1 + (n-1) d
Kontynuując powyższy wynik, nth termin można podać również jako;
zan = am + (n-m) d, gdziem to losowy termin w sekwencji taki, że n> m.
Zbiór liczb parzystych i zbiór liczb nieparzystych to najprostsze przykłady sekwencji arytmetycznych, w których każda sekwencja ma wspólną różnicę (d) wynoszącą 2.
Liczba terminów w sekwencji może być nieskończona lub skończona. W przypadku nieskończonym (n → ∞) sekwencja dąży do nieskończoności w zależności od wspólnej różnicy (an → ± ∞). Jeśli wspólna różnica jest dodatnia (d> 0), sekwencja dąży do dodatniej nieskończoności, a jeśli wspólna różnica jest ujemna (d < 0), it tends to the negative infinity. If the terms are finite, the sequence is also finite.
Suma terminów w sekwencji arytmetycznej jest znana jako szereg arytmetyczny: Sn= a1 + za2) + za3) + za4 + ⋯ + an = ∑i = 1 → n zaja; i Sn = (n / 2) (a1 + zan) = (n / 2) [2a1 + (n-1) d] podaje wartość szeregu (Sn).
Więcej informacji o sekwencji geometrycznej (postęp geometryczny)
Sekwencja geometryczna jest zdefiniowana jako sekwencja, w której iloraz dwóch dowolnych kolejnych wyrazów jest stały. Jest to również znane jako postęp geometryczny.
Sekwencja geometryczna ⇒ a1, za2), za3), za4,…, An; gdzie2)/za1 = r, a3)/za2) = r itd., gdzie r jest liczbą rzeczywistą.
Łatwiej jest przedstawić sekwencję geometryczną za pomocą wspólnego stosunku (r) i początkowego składnika (a). Stąd ciąg geometryczny ⇒ a1, za1r, a1r2), za1r3),…, A1rn-1.
Ogólna forma nth warunki podane przezn = a1rn-1. (Utrata indeksu początkowego terminu ⇒ an = arn-1)
Sekwencja geometryczna może być również skończona lub nieskończona. Jeśli liczba terminów jest skończona, sekwencję uważa się za skończoną. A jeśli terminy są nieskończone, sekwencja może być nieskończona lub skończona w zależności od stosunku r. Wspólny stosunek wpływa na wiele właściwości w ciągach geometrycznych.
| r> o | 0 < r < +1 | Sekwencja jest zbieżna - rozkład wykładniczy, tjn → 0, n → ∞ |
| r = 1 | Stała sekwencja, tjn = stała | |
| r> 1 | Sekwencja jest rozbieżna - wykładniczy wzrost, tjn → ∞, n → ∞ | |
| r < 0 | -1 < r < 0 | Sekwencja oscyluje, ale zbiega się |
| r = 1 | Sekwencja jest naprzemienna i stała, tjn = ± stała | |
| r < -1 | Sekwencja jest naprzemienna i rozbieżna. tjn → ± ∞, n → ∞ | |
| r = 0 | Sekwencja jest ciągiem zer | |
N.B: We wszystkich powyższych przypadkach:1 > 0; Jeśli1 < 0, the signs related to an zostanie odwrócony.
Przedział czasowy między odbiciami piłki jest zgodny z geometryczną sekwencją w modelu idealnym i jest sekwencją zbieżną.
Suma terminów sekwencji geometrycznej jest znana jako szereg geometryczny; S.n = ar + ar2) + ar3) + ⋯ + arn = ∑i = 1 → n arja. Suma szeregów geometrycznych można obliczyć za pomocą następującego wzoru.
S.n = a (1-rn ) / (1-r); gdzie a jest początkowym składnikiem, a r jest stosunkiem.
Jeżeli stosunek r ≤ 1, szereg jest zbieżny. W przypadku szeregu nieskończonego wartość zbieżności jest podana przez S.n = a / (1-r)
Jaka jest różnica między arytmetyką a sekwencją / postępem geometrycznym?
• W sekwencji arytmetycznej dowolne dwa kolejne wyrażenia mają wspólną różnicę (d), podczas gdy w sekwencji geometrycznej dowolne dwa kolejne wyrażenia mają stały iloraz (r).
• W sekwencji arytmetycznej zmiana wyrażeń jest liniowa, tzn. Można narysować linię prostą przechodzącą przez wszystkie punkty. W szeregu geometrycznym wariacja jest wykładnicza; rośnie lub zanika w oparciu o wspólny współczynnik.
• Wszystkie nieskończone sekwencje arytmetyczne są rozbieżne, podczas gdy nieskończone szeregi geometryczne mogą być rozbieżne lub zbieżne.
• Szereg geometryczny może pokazywać oscylację, jeśli stosunek r jest ujemny, podczas gdy szereg arytmetyczny nie wyświetla oscylacji
