Różnica między liczbami wymiernymi i nieracjonalnymi

Termin „liczby” przywodzi na myśl to, co na ogół klasyfikuje się jako dodatnie wartości całkowite większe od zera. Inne klasy liczb obejmują wszystkie liczby i frakcje, złożony i liczby rzeczywiste i również ujemne wartości całkowite.

Poszerzając klasyfikację liczb, napotykamy racjonalny i irracjonalny liczby. Liczba wymierna to liczba, którą można zapisać jako ułamek. Innymi słowy, liczbę wymierną można zapisać jako stosunek dwóch liczb.

Rozważmy na przykład liczbę 6. Można go zapisać jako stosunek dwóch liczb mianowicie. 6 i 1, prowadzące do stosunku 6/1. Również, 2/3, który jest zapisany jako ułamek, jest liczbą wymierną.

Możemy zatem zdefiniować liczbę wymierną jako liczbę zapisaną w postaci ułamka, w którym zarówno licznik (liczba u góry), jak i mianownik (liczba u dołu) są liczbami całkowitymi. Dlatego z definicji każda liczba całkowita jest również liczbą wymierną.

Stosunek dwóch dużych liczb, takich jak (129 367 871)/(547,724,863) stanowiłby również przykład liczby wymiernej z tego prostego powodu, że zarówno licznik, jak i mianownik są liczbami całkowitymi.

I odwrotnie, dowolną liczbę, której nie można wyrazić w postaci ułamka lub stosunku, określa się jako irracjonalną. Najczęściej cytowanym przykładem liczby niewymiernej jest √2) (1.414213…). Innym popularnym przykładem liczby niewymiernej jest stała liczbowa π (3.141592… ).

Liczbę niewymierną można zapisać jako ułamek dziesiętny, ale nie jako ułamek. Liczby niewymierne nie są często używane w życiu codziennym, chociaż istnieją na linii liczbowej. Istnieje nieskończona liczba liczb niewymiernych pomiędzy 0 i 1 na linii liczbowej. Liczba niewymierna ma niekończące się powtarzające się cyfry po prawej stronie przecinka dziesiętnego.

Zauważ, że często podawana wartość 22/7 dla stałej π jest w rzeczywistości tylko jedną z wartości π. Z definicji obwód koła podzielony przez dwukrotność jego promienia jest wartością π. Prowadzi to do wielu wartości π, zawierające Ale nie ograniczone do, 333/106, 355/113 i tak dalej 1.

Tylko pierwiastki kwadratowe liczb kwadratowych; tzn. pierwiastki kwadratowe z idealne kwadraty są racjonalne.

√1= 1 (Racjonalny)

√2 (Irracjonalny)

√3 (Irracjonalny)

√4 = 2 (Racjonalny)

√5, √6, √7, √8 (Irracjonalny)

√9 = 3 (Racjonalne) i tak dalej.

Ponadto zauważamy, że tylko nkorzenie nte moce są racjonalne. Więc 6. korzeń 64 jest racjonalny, ponieważ 64 jest 6. moc, a mianowicie 6. moc 2). Ale 6. korzeń 63 jest irracjonalny. 63 nie jest idealny 6th moc.

Nieuchronnie dziesiętna reprezentacja irracjonalności pojawia się w obrazie i daje interesujące wyniki.

Kiedy wyrażamy racjonalny liczba jako dziesiętna, wówczas albo dziesiętna będzie dokładny (jak w 1/5= 0,20) albo będzie niedokładny (jak w, 1/3 ≈ 0,3333). W obu przypadkach będzie przewidywalny wzór cyfr. Zauważ, że gdy irracjonalny liczba jest wyrażana w postaci dziesiętnej, wówczas wyraźnie będzie niedokładna, ponieważ w przeciwnym razie liczba byłaby racjonalna.

Co więcej, nie będzie przewidywalnego wzoru cyfr. Na przykład,

√2 ≈1.4142135623730950488016887242097

Teraz, z liczbami wymiernymi, czasami spotykamy 1/11 = 0,0909090.

Zastosowanie zarówno znaku równości (=) i trzy kropki (elipsa) oznacza, że ​​chociaż nie można tego wyrazić 1/11 dokładnie w postaci dziesiętnej, nadal możemy ją przybliżać za pomocą tylu cyfr dziesiętnych, na ile jest to dozwolone 1/11.

Zatem postać dziesiętna z 1/11 jest uważane za niedokładne. Z tego samego powodu postać dziesiętna  ¼ która wynosi 0,25, jest dokładna.

Jeśli chodzi o liczbę dziesiętną dla liczb niewymiernych, zawsze będą niedokładne. Kontynuując na przykładzie √2), kiedy piszemy √2 = 1,41421356237… (Zwróć uwagę na użycie wielokropka), natychmiast oznacza, że ​​nie ma miejsca po przecinku √2 będzie dokładne. Ponadto nie będzie przewidywalnego wzoru cyfr. Używając pojęć z metod numerycznych, ponownie możemy racjonalnie aproksymować tyle cyfr dziesiętnych, ile wynosi do takiego punktu, że jesteśmy blisko √2.

Wszelkie uwagi na temat liczb wymiernych i nieracjonalnych nie mogą kończyć się bez obowiązkowego dowodu, dlaczego √2 jest nieracjonalne. Robiąc to, wyjaśniamy również klasyczny przykład dowód przez cdpromieniowanie.

Załóżmy, że √2 jest racjonalne. To prowadzi nas do przedstawienia go jako stosunku dwóch liczb całkowitych, powiedzmy p i q.

√2 = p / q

Nie trzeba dodawać że, p i q nie mają wspólnych czynników, ponieważ gdyby były jakieś wspólne czynniki, anulowalibyśmy je z licznika i mianownika.

Po wyrównaniu obu stron równania otrzymujemy,

2 = p2) / q2)

Można to dogodnie zapisać jako,

p2) = 2q2)

Sugeruje to ostatnie równanie p2) jest parzysty. Jest to możliwe tylko wtedy, gdy p samo jest nawet. To z kolei implikuje p2) jest podzielny przez 4. W związku z tym, q2) i konsekwentnie q musi być parzysty. Więc p i q oba są nawet sprzeczne z naszym początkowym założeniem, że nie mają wspólnych czynników. A zatem, √2 nie może być racjonalny. CO BYŁO DO OKAZANIA.