Różnica między przemienną a asocjacyjną

Matematyka to gra liczb, a liczby są wszędzie. A regułą gry są właściwości i reguły związane z liczbami. Właściwości pomagają szybko i łatwo obliczyć odpowiedzi w głowie. Właściwości to nic innego jak specjalne zasady, których przestrzegają liczby. Istnieją trzy podstawowe właściwości liczb, których przestrzega każdy system matematyczny: właściwości przemienne, asocjacyjne i dystrybucyjne. Te właściwości są cechami czterech operacji (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), które zawsze obowiązują niezależnie od liczby, z którą pracujesz. Ale omówimy tylko właściwości przemienne i asocjacyjne w następnym artykule.

Zarówno właściwości przemienne, jak i asocjacyjne są regułami stosowanymi do operacji dodawania i mnożenia. Te właściwości są prawami stosowanymi w algebrze, aby pomóc rozwiązać problemy. Właściwość przemienna pochodzi od terminu „dojazd do pracy”, który oznacza przemieszczanie się i odnosi się do możliwości zmiany dodawanych lub mnożonych liczb. Właściwość asocjacyjna pochodzi od słowa „powiązanie” lub „grupa” i odnosi się do grupowania trzech lub więcej liczb za pomocą nawiasów, niezależnie od tego, jak je grupujesz. Wynik pozostaje taki sam, bez względu na to, jak ponownie zgrupujesz liczby. Rzućmy okiem na dwie właściwości, aby lepiej zrozumieć, jak działają.

Co to jest przemienne?

Na przykład; wiemy, że dodanie 2 i 5 daje tę samą odpowiedź, co dodanie 5 i 2. Kolejność liczb w problemie dodawania można zmienić bez zmiany wyniku. Ta kwestia liczb i dodawania nazywana jest przemienną właściwością dodawania. Można więc powiedzieć, że dodawanie jest operacją przemienną. Podobnie mnożenie jest operacją przemienną.

Przemienność dodawania:

a + b = b + a

3 + 4 = 7 to to samo co 4 + 3 = 7

Wynik będzie taki sam bez względu na kolejność liczb.

Komutatywna właściwość mnożenia:

a × b = b × a

3 × 7 = 21 to to samo co 7 × 3 = 21

Podobnie wynik będzie taki sam, niezależnie od kolejności liczb.

Co to jest skojarzenie?

Associative to kolejna właściwość, której używamy, związana z ponownym grupowaniem. Na przykład, dodając 2 + 3 + 5, możemy najpierw dodać 2 i 3, a następnie dodać 5, lub możemy dodać najpierw 3 i 5, a następnie 2. Matematycznie wygląda to tak: 2 + 3 + 5 = 2 + (3 + 5) = (2 +3) + 5. Operacje, które zachowują się w ten sposób, nazywane są operacjami asocjacyjnymi. Wynik pozostaje taki sam, nawet jeśli zmienimy grupowanie liczb.

Skojarzona właściwość dodania:

a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c

1 + (2 +3) = (1 +2) + 3 = 6

Wynik pozostaje taki sam, bez względu na sposób grupowania liczb.

Skojarzona właściwość mnożenia:

a × (b × c) = (a × b) × c

2 × (3 × 4) = 2 × 12 = 24

(2 × 3) × 4 = 6 × 4 = 24

Tak więc grupowanie liczb nie zmienia wyniku.

Różnica między przemienną a asocjacyjną

Znaczenie

- Właściwość przemienna pochodzi od terminu „dojazd”, co oznacza „poruszanie się” i odnosi się do możliwości przełączania dodawanych lub mnożonych liczb bez względu na ich kolejność. Z drugiej strony właściwość asocjacyjna pochodzi od słowa „powiązanie” lub „grupa” i odnosi się do grupowania trzech lub więcej liczb za pomocą nawiasów, niezależnie od tego, jak je grupujesz. Wynik będzie taki sam, bez względu na to, jak ponownie zgrupujesz liczby lub zmienne.

Reguła

- Komutatywna reguła stanów dodawania, a + b = b + a, co oznacza dodanie a i b, daje taki sam wynik jak dodanie b i a. Zamówienia mogą być zmieniane bez zmiany wyniku. Ta zasada dodawania nazywana jest przemienną właściwością dodawania. Podobnie mnożenie jest operacją przemienną, co oznacza, że ​​a × b da taki sam wynik jak b × a. Natomiast właściwość asocjacyjna to reguła odnosząca się do grupowania liczb. Zasada asocjacji stanów dodawania, a + (b + c) jest taka sama jak (a + b) + c. Podobnie, asocjacyjna zasada mnożenia mówi, że × (b × c) jest takie samo jak (a × b) × c.

Przykład

- Przemienna właściwość dodawania: 1 + 2 = 2 +1 = 3

Przemienna właściwość mnożenia: 2 × 3 = 3 × 2 = 6

Asocjacyjna właściwość dodawania: 5 + (3 + 7) = (5 + 3) + 7 = 15

Skojarzona właściwość mnożenia: 5 × (2 × 4) = (5 × 2) × 4 = 40

Komutacyjna vs. asocjacyjna: Tabela porównawcza

streszczenie

W skrócie, właściwością przemienną nie jest mylenie z właściwością asocjacyjną. Właściwość przemienna stwierdza, że ​​można zmieniać kolejność liczb w operacjach dodawania i mnożenia, ponieważ wynik będzie taki sam, bez względu na kolejność. Z drugiej strony właściwość asocjacyjna stwierdza, że ​​wynik będzie taki sam, bez względu na to, jak grupujesz liczbę lub zmienne w operacjach dodawania / mnożenia.